Sur la meilleure approximation de \(|x|^p\) par des polynômes de degrés très élevés. (Q2594210)

\(E_n\,|x|^p\) bezeichne die untere Grenze von \( \max _{-1\leqq x\leqq 1}\,\Bigl|\,|x|^p-P_n(x)\,\Bigr|\), wo \(p\) eine feste positive Zahl und \(P_n(x)\) ein beliebiges Polynom höchstens \(n\)-ten Grades bedeutet. Verf. zeigt, daß \(n^p\,E_n\,|x|^p\) für \(n\to\infty \) gegen eine von \(p\) abhängige Grenze \(\mu (p)\) strebt. Ausgangspunkt des Beweises ist die in der Monographie des Verf. ``Extremaleigenschaften von Polynomen'' (1937), S. 98-102 (Russisch) abgeleitete Gleichung \[ n^p\,|x|^p = H_p (nx)\,\cos n\;\text{arc sin\,}x +\varepsilon _n +R_n(x), \] wo \(n\) eine gerade Zahl, \[ H_p(t) = \frac {4}{\pi }\,\sin \frac {\pi p}{2}\,\int\limits _0^\infty \frac {u^{p-1}\,du} {(e^u+e^{-u})\,\Bigl(1+\dfrac {u^2}{t^2} \Bigr)}, \] \(\varepsilon _n\) für \(n\to\infty \) gleichmäßig in \(\langle -1, + 1\rangle \) gegen 0 strebt und \(R_n(x)\) ein Polynom \(n\)-ten Grades ist, das in \(\langle -1, + 1\rangle \) nicht stärker als \(n^p\) anwächst. -- Für \(p =1\) hatte Verf. den Satz schon früher bewiesen (Commun. math. Soc. Kharkoff (2) 13 (1912), 49-194; Acta math., Stockholm, 37 (1913), 1-57; F. d. M. 43, 493 (JFM 43.0493.*), 44, 475).