On summable trigonometrical series: An extension of uniqueness theorems. (Q2594223)

Verf. untersucht die Natur der \((C, k)\)-summierbaren trigonometrischen Reihen unter Verallgemeinerung des bekannten Theorems von de la Vallée Poussin. Es sei daran erinnert, daß diejenigen trigonometrischen Reihen restringierte Fourierreihen heißen, die zwar keine Fourierreihen sind, die sich aber in gewissen, in \((0, 2\pi )\) ganz enthaltenen Intervallen in bezug auf eine gewisse Summierungsmethode wie \(L\)-Fourierreihen zu der gewöhnlichen Konvergenz verhalten. Das Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit ist folgendes: Sei \[ \sum _{n=1}^\infty (a_n\,\cos nx + b_n\,\sin nx)\tag{1} \] eine trigonometrische Reihe; wenn \(k\geqq 0\) eine ganze Zahl ist und die beiden Funktionen \[ S(x) = \varlimsup _{N\to\infty }S_k(x, N)\;\;\;\text{und}\;\;\;s (x) = \varliminf _{N\to\infty }S_k(x, N), \] \[ S_k(x,N) =\sum _{n=1}^N \Bigl(1-\frac {n}{N}\Bigr)^k\,(a_n\,\cos nx + b_n\,\sin nx) \] nach Perron in \((a,b)\) integrierbar und in \((a,b)-H\) endlich sind (\(H\) eine abzählbare Menge), und wenn in \(H\) gilt: \(S_k(x, N) = o\,(N)\), dann existiert eine in \((a,b)\) reduzierte Menge \(C\) (d. h. \(C'\) ist abzählbar) derart, daß in jedem Intervall von \((a,b)\), das keine Punkte von \(C\) enthält, die Reihe (1) eine restringierte Fourierreihe ist. Wenn außerdem \(\bar S_k(x, N) = o\,(N^2)\) gilt für alle \(a\leqq x\leqq b\), in denen \(\bar S_k(x, N)\) wie \(S_k(x, N)\) für die konjugierte Reihe von (1) definiert ist, dann ist (1) eine restringierte Fourierreihe in \((a,b)\). Ist schließlich \((a,b)\equiv (0,2\pi )\), so gilt fast überall \(S (x) = s (x)\), und (1) ist die Fourierreihe von \(S (x)\). Dieses Ergebnis schließt sich an ein ähnliches von \textit{S. Verblunsky} an (Fundam. Math., Warszawa, 21 (1933), 168-210; JFM 59.1008.*).