On the distribution of the values of real almost periodic functions. (Q2594228)

Es sei \(\theta_0{:}(\theta_1,\ldots, \theta_n)(\text{mod}\;1)\) der aus dem \(n\)-dimensionalen euklidischen Raum \(\theta{:}(x_1,\ldots,x_n)\) entstehende \(n\)-dimensionale Torus und \(F(\theta_1,\ldots,\theta_n)\) eine reelle stetige Funktion auf diesem Torus. Die reellen Zahlen \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) seien im rationalen Zahlkörper linear-unabhängig. Die Verf. betrachten die Verteilung der \(a\)-Stellen der fastperiodischen Funktion \(f(t) = F(\lambda_1t+\varphi_1,\ldots,\lambda_n t+\varphi_n)\). Es werden folgende Annahmen gemacht: 1) \(\varphi_1=0\), \(\lambda_1 > 0\); 2) die Anzahl \(G_a(\varphi_2,\ldots,\varphi_n)\) der \(a\)-Stellen von \(f(t)\) in \(0\leqq t\leqq\dfrac1{\lambda_1}\) ist eine über dem \((n-1)\)-dimensionalen Torus \(\varPhi: 0\leqq \varphi_j<1\); (\(j= 2,\ldots, n)\) im Riemannschen Sinne integrierbare Funktion. Falls nun \(N_T(a)\) die Anzahl der \(a\)-Stellen von \(f(t)\) in \(0\leqq t\leqq T\) ist, so folgt aus dem Kronecker-Weylschen Approximationssatz: \[ E_\lambda(a)=\lim_{T\to\infty}\frac{N_T(a)}T=\lambda_1 \int\limits_\varPhi G_a(\varphi_2,\ldots,\varphi_n)d\varPhi. \] Es sei weiter \(\varSigma_0\) die Menge der \(a\)-Stellen von \(F(\theta_1,\ldots,\theta_n)\) auf \(\theta_0\) und \(\varSigma\) die Menge aller Punkte in \(\theta\), die zu einem Punkt von \(\varSigma_0\) kongruent mod 1 sind. Es werde noch die folgende Voraussetzung, gemacht: 3) es sei \(\varGamma_\lambda\) die Gerade \(\theta_j=\lambda_jt+\varphi_j\) (\(j = 1,\ldots, n\); \(-\infty < t < +\infty\)) in \(\theta_0\) mit der Richtung \(\lambda = (\lambda_1,\ldots, \lambda_n)\) und dem Anfangspunkt \((\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\). Für jedes feste \(\lambda\) und \(q>0\) sei \(M_\lambda = M_\lambda(\varphi_1,\ldots,\varphi_n;q)\) die Anzahl der gemeinsamen Punkte von \(\varSigma_0\) und dem Teil \(0\leqq t\leqq q\) von \(\varGamma_\lambda\). Es habe dann \(M_\lambda\) ein endliches Lebesgue-Integral über den \(n\)-dimensionalen Torus der \(\varphi_j\). Dann gilt auch (es ist nun \(G_a(\varphi_2,\ldots,\varphi_n)\) mit \(M_\lambda\left(0,\varphi_2,\ldots,\varphi_n,\dfrac1{\lambda_1}\right)\) identisch) \[ \frac{E_\lambda(a)}{|\lambda|}=\frac{P_\lambda(l)}l=D_\lambda \qquad\left(|\lambda|=\sqrt{\lambda_1^2+\cdots+\lambda_n^2}\right), \] wo \(P_\lambda(l)\) die wahrscheinliche Anzahl der Schnittpunkte von \(\varSigma\) ist mit einer Nadel von der Länge \(l\), die mit der gegebenen Richtung \(\lambda\) auf \(\theta\) geworfen wird, so daß \(D_\lambda\) die mittlere Dichte der Punkte von \(\varSigma\) auf der Nadel ist. Weiter betrachten die Verf. noch Spezialfälle und eine Erweiterung für den Fall nicht-reeller Funktionen \(f(t)\).