Vereinfachter Beweis der Moivre-Stirlingschen Formel und geometrische Bestimmung des Fehlers. (Q2594236)

Man erhält die Stirlingsche Formel bekanntlich, indem man für die Berechnung des über \(1\leqq x \leqq n\) gelegenen Flächeninhalts der Kurve \(y = \log x\) diese durch den zu den Abszissen \(1,2,3,\ldots,n\) gehörigen Sehnenzug ersetzt. Der Fehler kann also durch Abschätzung der zwischen Sehnenzug und Kurve verbliebenen Lappen abgegrenzt werden; sind \(P_i\) die Ecken des ersten, so sind zufolge der Konvexität diese Lappen je in den von den Sehnen \(P_iP_{i+1}\) und den Tangenten in \(P_i\) und \(P_{i+1}\) gebildeten Dreiecken gelegen; daraus gewinnt Verf. die bekannte Abschätzung \(n! =\sqrt{2\pi n}\;n^n e^{-n} e^{\tfrac\theta{12n}}\), \(0 < \theta < 1\).