A generalization of the polynomial \(F_n(x)\). (Q2594256)

Die betrachteten Polynome \(F_n^m(z)\) sind definiert durch, die erzeugende Funktion \[ (1-t)^{-1}F\left(\frac12,\frac{1+m+z}2,1+m;-4t(1-t)^{-2}\right)= \sum_{n=0}^\infty t^n F_n^m(z), \;|t|<3-\sqrt8, \] wo \(F(\alpha,\beta,\gamma;x)\) die hypergeometrische Funktion bedeutet; es ist \[ F_n^m(z)={}_3F_2\left(-n,n+1,\frac{1+m+z}2;1,m+1;1\right), \] und es gilt die Gleichung \[ F_n^m\left(\frac d{dx}\right)\operatorname{sech}^{m+1}x= \operatorname{sech}^{m+1}xP_n(\operatorname{tgh} x), \] wo \(P_n(x)\) das \(n\)-te Legendresche Polynom bedeutet. Verf. leitet für \(F_n^m(z)\) verschiedene Reihen, auch Potenzreihen, Rekursionsformeln und Integraldarstellungen ab und gibt Entwicklungen von Funktionsausdrücken, die die gewöhnlichen und zugeordneten Legendreschen Polynome enthalten, nach den \(F_n^m(z)\), ferner wird das Integral \(\int\limits_{-\infty}^{+\infty} G_n^m(iz)G_p^m(-iz)dz\) ausgewertet, wo \[ G_n^m(iz)=2^m\operatorname{B}\left(\frac{1+m+iz}2,\frac{1+m-iz}2\right)F_n^m(iz) \] ist, und mittels einer Integraldarstellung die Erklärung der Funktion für nicht ganze \(n\) gegeben. Zum Schluß folgt eine Anwendung auf die Aufgabe, die Schwingungen eines rotierenden Fadens zu bestimmen, an dem sich in gleichen Abständen \(n\) Massenpunkte befinden. Vgl. \textit{H. Bateman}, Tôhoku math. J. 37 (1933), 23-28; Ann. Math., Princeton, (2) 35 (1934), 767-775 (F. d. M. \(59_{\text I}\), 364; \(60_{\text I}\), 301), \textit{S. Pasternack}, Proc. nat. Acad. Sci. USA 23 (1937), 91-94 (F. d. M. \(63_{\text I}\), 321).