Sur quelques systèmes complets de fonctions analytiques. (Q2594310)

Den Radius des größten Kreises um den Nullpunkt, in dessen Innern ein System \(\{\varphi_n(z)\}\) von analytischen Funktionen vollständig ist, nennt Verf. den Vollständigkeitsradius dieses Systems. Er beweist: Jede Funktion der Folge \(u_1(z), u_2(z),\ldots\) sei regulär für \(|z|<R\) und \(R\) sei der Vollständigkeitsradius des Systems \(\{u_n(z)\}\). \(F(z)\) sei eine ganze Funktion erster Ordnung vom Typus \(\sigma<R\) und \(f(z)\) mit \(F(z)\) im Sinne von Borel assoziiert. Dann läßt sich \(F(z)\) in der Form \[ F(z)=\sum_{k=0}^N A_kP_k(z)+R_N(z) \] darstellen, wo die \(P_k(z)\) Polynome sind, die nur vom System \(\{u_n(z)\}\), nicht aber von \(F(z)\) abhängen, wo ferner \[ A_k=\frac1{2\pi i}\int\limits_C f(z)u_k(z)dz\qquad (k=0,1,\ldots) \] ist und \(|R_N(z)|\) für \(|z|\leqq\varrho\) mit beliebigem konstantem \(\varrho\) bei \(N\to\infty\) gleichmäßig gegen 0 strebt. Mit Hilfe dieses Theorems beweist Verf. folgende Sätze: Der Vollständigkeitsradius des Systems \(\{z^ne^{\alpha_nz}\}\) ist unendlich für \(\lim\limits_{n\to\infty} \alpha_n=0\), mindestens gleich \(\log 2\) für \(|\alpha_n|\leqq 1\) und gleich \(|z_0|\) für \(\alpha_n=e^{nci}\) (\(c\) reell), wobei \(z_0\) die dem Betrage nach kleinste Wurzel der Gleichung \[ \sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!} e^{-\tfrac{n(n-1)}2ci}=0 \] ist. -- Ist \(\varphi(z)\) regulär für \(|z|\leqq R\), so hat das System \(\{z^n\varphi^{(n)}(z)\}\) dann und nur dann den Vollständigkeitsradius \(R\), wenn \(\varphi^{(n)}(0)\neq 0\) für \(n = 0, 1,\ldots\) ist. Darüber hinaus enthält die Arbeit einige Sätze über die Konvergenz der Abelschen Interpolationsreihe.