Sur les coefficients d'une fonction bornée dans le cercle unité. (Q2594322)

Sei die Funktion \[ f(z) = a_0+a_1z + a_2z^2+\cdots,\qquad |a_n|=\alpha_n, \] im Einheitskreis absolut kleiner als Eins. Für diese Beschränktheit leitet Verf. \textit{notwendige Bedingungen} her, die im Gegensatz zum Schurschen notwendigen und hinreichenden Determinantenkriterium eine einfachere Struktur besitzen. Mit Hilfe von Integralen der Form \[ I=\frac1{2\pi i}\oint f(\zeta)(1+\mu_0\zeta^{n+1}+\mu_1\zeta^{n+2}+\cdots+ \mu_n\zeta^{2n+1})^2\cdot\frac{d\zeta}{\zeta^{2n+2}} \] und anderen beweist Verf., daß A) \(\alpha_{2n+1}\leqq 1-\alpha_0^2-\alpha_1^2-\cdots-\alpha_n^2\), \qquad \(n=0,1,2,\ldots\), B) \(\alpha_{2n}\phantom{_{+1}} \leqq 1-\alpha_0^2-\alpha_1^2-\cdots-\alpha_{n-1}^2 -\dfrac{\alpha_n^2}{1+\alpha_0}\), \quad \(n=1,2,\ldots\), C) \(\alpha_n^2\phantom{_{2+1}} \leqq(1-\alpha_0^2)(1-\alpha_0^2-\alpha_1^2-\cdots-\alpha_{n-1}^2)\), \quad \(n=1,2,\ldots\). \noindent Zugleich bestimmt er jene Funktionen, die in A) bzw. B) bzw. C) Gleichheit liefern. Es ergeben sich mannigfache Folgerungen und Modifikationen. Z. B.: Gilt in C) das Gleichheitszeichen für \(n=p\), so auch für \(n = 2p, 3p,\ldots\). Gilt es für zwei teilerfremde Zahlen \(n\), so ist \(f(z)=\dfrac{a_0-z}{1-\overline{a}_0z}\).