Formal power series transformations. (Q2594335)

Im \(n\)-dimensionalen Raum der Variabeln \(x_1, x_2,\ldots, x_n\) sei eine Punkttransformation \(T\), die den Punkt \(\{x_1,\ldots, x_n\}\) in den Punkt \(\{y_1,\ldots, y_n\}\) überführt, durch \[ y_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j+\sum_{\mu=2}^\infty\left\{ \sum_{\alpha_1+\cdots+\alpha_n=\mu} a_{i\alpha_1\ldots\alpha_n} x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}\right\}\qquad (i=1,2,\ldots,n) \] gegeben. Die Determinante \(|a_{ij}|\) soll ungleich Null sein. Die Konvergent dieser Reihen wird nicht vorausgesetzt; die Betrachtungen haben einen rein formalen Charakter. Ist \(t\) eine ganze Zahl, so läßt sich durch formales Rechnen mit Potenzreihen die \(t\)-fach iterierte Transformation \(T^t\) erklären. Ist \(\tau\) eine weitere ganze Zahl, so gilt natürlich \[ T^{t+\tau}=T^tT^{\tau}. \] Verf. stellt sich die Aufgabe \(T^t\) auch für nicht ganze \(t\) zu erklären, und zwar so, daß erstens die Koeffizienten dieser Transformation formale Potenzreihen in \(t\) werden, und daß zweitens die Relation \[ T^{t+\tau}=T^tT^\tau \] besteht. Die Aufgabe ist sicher nicht eindeutig lösbar. Zuerst wird der Fall einer linearen Transformation \(T\) betrachtet. Im nichtlinearen Fall kann die Aufgabe für einen recht allgemeinen Fall, den sogenannten ``pseudo-inkommensurablen Typ'' gelöst werden, bei dem die Logarithmen der charakteristischen Wurzeln der Matrix \((a_{ij})\) gewisse Relationen erfüllen. Im allgemeinsten Fall kann bisher nur gezeigt werden, daß es zu der Transformation \(T\) eine ganze Zahl \(k\) derart gibt, daß \(T^k\) vom pseudo-inkommensurablen Typ ist.