Über das Symbol \(\dfrac{\varDelta^r z^{(n,k}}{h^r}\). (Q2594360)

Wird unter \(z^{(n,k}\) der Ausdruck \(z(z - k)\cdots(z-(n-1) k)\) verstanden und die Differenz \(\varDelta\) mit der Spanne \(h\) genommen, so lassen sich durch identische Umformungen eine Reihe von Formeln angeben, von denen beispielsweise die folgende aufgeführt werde: \(\omega=h^{-r}\varDelta^r z^{(n,k}=h^{n-r}\varDelta^r \left(\dfrac{z}{h}\right)^{(n,k}\). Durch besondere Wahl von \(h\) und \(k\) \((0,1)\) gelangt man zu weiteren Relationen. Das Additionstheorem \[ h^{-r}\varDelta^r(x+y)^{(n,k}= \sum_{t=r}^n\frac1{t!}\frac{\varDelta^r x^{(t,h_1}}{h^r}\cdot \frac{\varDelta^t y^{(n,k}}{h^t_1} \] und die daraus durch Spezialisierung gewonnenen Beziehungen bilden eine weitere behandelte Formelgruppe. Auf der Rekursionsformel \[ \frac{h^{-r}}{r!}\varDelta^rz^{(n,k}=(z+hr-(n-1)k)\frac{h^{-r}}{r!}\varDelta^r z^{(n-1,k}+\frac{h^{1-r}}{(r-1)!}\varDelta^{r-1}z^{(n-1,k} \] beruhen eine Reihe weiterer Formeln. Auf die erzeugende Funktion \[ (1+kt)^{\tfrac zk}\left[ \frac{(1+kt)^{\tfrac hk}-1}{ht}\right]^r= \sum_{n=1}^\infty\frac{t^n h^{-r} \varDelta^r z^{(n+r,k}}{n!(n+r)^{(r,1}} \] wird nur kurz eingegangen. Ausgehend von der Relation \[ h^{-r}\varDelta^r z^{(n,k}=(-1)^{n-r}h^{-r}\varDelta^r(k(n-1)-hr-z)^{(n,k} \] wird auf die symmetrische Lage der Nullstellen von \(\omega\) bezüglich \(\frac12(k(n-1)-hr)\) geschlossen, und anschließend werden weitere Aussagen über die Nullstellen gemacht.