Sur la théorie moderne du potentiel. (Q2594409)

Verf. definiert in Anlehnung an die Maßtheorie die Kapazität einer Punktmenge, indem er zwischen innerer Kapazität \(\underline C_E\) (Frostman) und äußerer Kapazität \(\overline C_E\) (untere Grenze der inneren Kapazitäten der einschließenden offenen Punktmengen) unterscheidet. Fallen beide zusammen (abgeschlossene, offene Mengen), so heißt \(C_E\) die Kapazität schlechthin. Eine Punktmenge heißt ``effilé'' in \(O\), wenn entweder \(O\) isolierter Punkt der Vereinigungsmenge \(E+O\) ist, oder wenn in der Umgebung von \(O\) eine subharmonische Funktion \(u\) existiert, deren Wert in \(O\) größer ist als der obere limes von \(u\) in bezug auf \(E-O\). \(E\) heißt ``effilé intérieurement'' in \(O\), wenn jede abgeschlossene Punktmenge von \(E+O\) in \(O\) effilé ist. Für die Irregularität eines Randpunktes \(O\) der offenen Menge \(\varOmega\), desgleichen für die Instabilität eines Punktes der abgeschlossenen Menge \(F\), ist notwendig und hinreichend, daß die Komplemente \(C\varOmega\) bzw. \(CF\) in \(O\) effilé sind. Bei einer stetigen Transformation, welche die Abstände vergrößert, geht jede Menge, die nicht effilé intérieurement in \(O\) ist, in eine entsprechende über, und, wenn umgekehrt die Abstände vermindert werden, ist das Bild einer Menge, die effilé in \(O\) ist, effilé intérieurement in \(O^*\) (Bild von \(O\)). Dies gilt also z. B. von einer kreisförmigen Projektion um einen Punkt \(O\) auf einen Strahl durch diesen Punkt. Da nun eine Menge, die effilé intérieurement in \(O\) ist, kein Segment enthalten kann, so folgt die Existenz beliebig kleiner Kreisperipherien um \(O\), die nur aus Punkten des Komplements \(CO\) bestehen (von Beurling für abgeschlossene Mengen bewiesen).