Critères de régularité et de stabilité. (Q2594410)

Verf. stellt Kriterien für Regularität und Stabilität von Punkten auf. \(v_M\) heißt ``potentiel mesuré'' der Punktmenge \(M\), wenn als Belegungsfunktion das Inhaltsmaß benutzt wird. Dann genügt es für die Regularität eines Randpunktes \(\varOmega\) der offenen und beschränkten Punktmenge \(\varOmega\), wenn die Wienersche Lösung für \(v_\varOmega\) als Randfunktion in \(O\) den Grenzwert \(v_\varOmega(O)\) besitzt. Ähnliches gilt für die ``stabilen Punkte''. \(F\) sei beschränkt und abgeschlossen, \(F^*\) der Rand von \(F\), und \(\varphi\) stetig auf \(F\). \(u\) sei die zugehörige ``Lösung'' auf F, d. h. die Grenzfunktion einer Folge harmonischer Funktionen auf offenen Punktmengen, die \(F\) enthalten, sich auf \(F\) zusammenziehen, und deren Randwerte zusammen mit \(\varphi\) den Funktionswerten einer stetigen Funktion angehören. \(O\) auf \(F^*\) heißt ``stabil'', wenn \(u(O)=\varphi(O)\). \(O\) ist dann und nur dann stabil, wenn die Lösung für \(\varphi=v_F\) in \(O\) gleich \(v_F(O)\) ist. Ist \(v\) das Potential einer beliebigen Massenverteilung von einerlei Vorzeichen, und \(\overset \circ v\) die Lösung für \(v\) auf \(F\), so ist die Funktion, die auf \(F\) \(\overset \circ v\) und sonst gleich \(v\) ist, wieder ein Potential, dessen Massen ausschließlich auf \(F_s^*\) (Menge der stabilen Punkte) lokalisiert sind. Dieser Vorgang heißt nach Verf. ``extrémisation''. Besitzt \(F\) kein Inneres, so ist die Menge \(F_{is}^*\) der instabilen Punkte entweder leer, oder von positivem Maße. Besitzt \(F\) ein Inneres \(\omega\), und ist \(F_{is}^*\) von der Kapazität Null, so fällt \(F_{is}^*\) mit der Menge der irregulären Punkte von \(\omega\) zusammen.