Sur un type de problèmes relatifs aux équations du type elliptique à deux variables indépendantes. (Q2594426)

Folgendes Randwertproblem für ein ebenes beschränktes Gebiet \(D\) mit dem Rande S wird behandelt: \[ \begin{aligned} F_u&=\sum_{1,2}a_{\alpha\beta}\frac{\partial^2u}{\partial x_\alpha\partial x_\beta}+\sum_{1,2}b_\alpha\frac{\partial u}{\partial x_\alpha}+cu=f \quad \text{in} \quad D \quad (a_{1,1}> 0) \\ \varLambda u(Y) &= \sum_{1,2}c_{\alpha}(Y) \frac{\partial}{\partial x_\alpha}u(Y)+\psi(Y)u(Y)=\varphi(Y) \quad \text{auf} \quad S \end{aligned} \] (\(a_{\alpha,\beta}\), \(c_\alpha\), \(\varphi\), \(\psi\) hölderstetig, \(b_\alpha\), \(c\), \(f\) nur stetig; \(c_\alpha\) nicht gleichzeitig Null). \(S\) besteht aus endlich vielen einfachen Kurven mit hölderstetiger Tangente. Wenn die Richtung (\(c_1\), \(c_2\)) nirgends tangential zum Rande ist, führt die Aufgabe auf Bekanntes. Im allgemeinen Falle führt die Benutzung der équations intégrales principales zum Ziel. \(G(X,A)\) sei die Greensche Funktion für den Operator \(Fu-\chi u\) und bezüglich des Randes für den Operator \[ \theta u(Y)=\sum_{1,2}a_{\alpha\beta}(Y)\omega_\beta(Y)\frac {\partial u}{\partial x_\alpha}(Y) + \omega(Y)u(Y) \] (\(\omega_\beta\) Richtungskosinus der Normalen von \(S\), \(\omega(Y)\) hölderstetig), wo nur \(\chi \geqq c\), \(\omega \geqq 0\) zu sein braucht, um die Existenz von \(G\) zu sichern. Man setze \[ u=-\int\limits_DG(X,A) \varrho(A)\,dV_A+\int\limits_SG(X,A) \sigma(A)\,dS_A; \] dann gewinnt man für \(\varrho\) und \(\sigma\) die Integralgleichungen \[ \begin{gathered} g(X)-\chi(X)\int\limits_DG(X,A)\varrho(A)dV_A + \chi(A) \int\limits_SG(X,A)\sigma(A)\,dS_A = f(X), \\ g(Y)\sigma(Y)-\int\limits_D\varLambda G(Y,A)\varrho(A)dV_A + \int\limits_S\varLambda G(Y,A)\sigma(A)\,dS_A = \varphi(Y), \end{gathered} \] wo in der zweiten Gleichung Hauptwerte zu benutzen sind. Notwendig und hinreichend sind Bedingungen folgender Art: \(\int \lambda_q\varphi\,ds=\int\mu_qf\,dV\) (\(1 \leqq q \leqq s\)), wo \(\lambda\) und \(\mu\) gewisse Funktionen auf dem Rande bzw. im Innern des Gebietes sind. Die Lösung hängt von \(r\) Parametern ab. Es kann \(r\neq s\) sein, wie an einem Beispiele gezeigt wird. \(r=s\) ergibt den Fall, wo die Richtung \((c_1,c_2)\) nirgends mit der negativen Halbtangente zusammenfällt. Im Raume ist dies Verfahren im allgemeinen nicht mehr anwendbar.