On expansions in eigenfunctions. (Q2594440)

Zu der Entwicklung einer willkürlichen Funktion \(\psi(x)\) nach Besselschen Funktionen \(J_0(\alpha_nx)\), wo die \(\alpha_n\) die Nullstellen von \(J_0(az)\) sind, kann man von der partiellen Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2z}{\partial x^2}+ \frac 1x \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial t} \tag{1} \] her formal auf folgendem Wege kommen: Weiß man, daß (1) genau eine Lösung \(z = \psi(x,t)\) hat, die für \(x=a\) den Wert 0 und für \(t=0\) den Wert \(\psi(x)\) hat, so mache man den Ansatz \[ \psi(x,t)= \sum_{n=1}^\infty A_ne^{-\alpha_n^2t}J_0(\alpha_nx). \] Dann ist sicher \(\psi(a,t)=0\), und die Bedingung \(\psi(x,0)=\psi(x)\) führt auf die gesuchte Entwicklung von \(\psi(x)\). In der Arbeit wird gezeigt, wie dieser Prozeß durchzuführen und zu rechtfertigen ist. Zunächst wird vorausgesetzt, daß (1) im Bereich \(0< x < a\), \(t> 0\) eine Lösung mit folgenden Eigenschaften hat: \[ \begin{aligned} &\lim_{x\to a}\psi(x,t) = 0 \;\text{für} \;t > 0, \\ &\lim_{t\to 0}\psi(x,t)= \psi(x) \;\text{für} 0 < x < a, \end{aligned} \] \(\psi\), \(\psi_x\), \(\psi_{xx}\), \(\psi_t=O(e^{ct})\) für \(t \to \infty\) bei passendem \(c\). Dann wird unter Verwendung der Hilfsfunktion \[ \varPsi(x,w)=\frac 1{\sqrt 2\pi}\int\limits_0^\infty \psi(x,t) e^{iwt}\,dt \quad (\Im w > c), \] die der unhomogenen Besselschen Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2\varPsi}{\partial x^2}+ \frac 1x \frac{\partial \varPsi}{\partial x} +iw\varPsi= -\frac 1{\sqrt{2\pi}}\varPsi(x,0) \] genügt und daher durch \(\psi(x,0)\) und die Besselschen Funktionen dargestellt werden kann, gezeigt, daß \[ \psi(x,t)=\frac 2{a^2}\sum_{n=1}^\infty e^{-\alpha_n^2t} \frac{J_0(\alpha_nx)}{J_0(\alpha_n a)} \int\limits_0^a J_0(\alpha_ny)y\psi(y)\,dy \] sein muß, also eindeutig bestimmt ist. -- Umgekehrt wird gezeigt, daß diese Reihe bei geeigneten Eigenschaften von \(\psi(y)\) [\(\psi(a)=0\), zweimalige Differenzierbarkeit von \(\psi(y)\) und Integrierbarkeit dieser Ableitungen in \(0 < y < a\)] auch die gesuchte Lösung ist. Am Schluß Bemerkungen für den Fall, daß das Intervall \(0<x<a\) durch \(x>a\) ersetzt ist.