On the problem of wave-motion for sub-infinite domains. Errata. (Q2594456)

Verf. löst die allgemeine Wellengleichung (I): \(\varDelta U(P,t)-2b\dfrac\partial{\partial t} U(P,t)-\dfrac 1{a^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}U(P,t) = \varPhi(P,t)\) mit den Anfangsbedingungen: (II) \(\lim\limits_{t\to 0}U(P,t)=f(P)\), \quad (III) \(\lim\limits_{t\to 0}\dfrac \partial{\partial t}U(P,t)=g(P)\) \noindent bei folgenden Randbedingungen: Im eindimensionalen Falle ist das Gebiet die Halbgerade \(0 < x < \infty\), und die Werte von \(U\) sind für \(x=0\) als Funktion von \(t\) vorgegeben. Im zweidimensionalen Falle ist das Gebiet eine Halbebene oder ein Quadrant, im dreidimensionalen Falle ein Halbraum, Viertelraum oder Oktant. Die Randwerte sind als Funktionen der restlichen Variablen vorgeschrieben. Im Falle der Halbgeraden, Halbebene oder des Halbraumes, wo jeweils nur eine Randfunktion vorgegeben ist (für \(x=0\)), wird \(U\) zerlegt in \(U = u + v\), wo \(u\) dem inhomogenen System (I) und (II), (III) genügt, während \(u(P)= 0\) für \(x=0\) ist. \(v\) genügt dem homogenen System (I), (II), (III) und für \(x=0\) ist \(v(P,t)\) gleich der gegebenen Funktion \(\varPhi(P,t)\) (\(=\varPhi(t)\) bzw. \(\varPhi(y,t)\) bzw. \(\varPhi(y,z,t)\)). \(u\) wird durch leichte Modifikation eines früheren Resultats des Verf. bestimmt (Philos. Mag., J. Sci., London, (7) 26 (1938), 340-360; JFM 64.0496.*), \(v\) mittels Laplacescher Transformation gewonnen: \[ e^{-a^2bt}v(x,t)=\varPhi_1\left(t-\frac xa\right)+\frac xa \int\limits_{xa^{-1}}^\infty \varPhi_1(t-\tau)\frac{J_1(k\sqrt{(xa^{-1})^2-\tau^2})} {\sqrt{(xa^{-1})^2-\tau^2}}\,d\tau. \] Im Falle zweier Randfunktionen wird analog \(U\) in drei, bei drei Randfunktionen in vier Summanden zerspalten. Zu der Berichtigung bemerkt Ref.: In der angeführten Formel muß \(Y\) durch \(\gamma\) ersetzt werden.