The Plateau problem for nonrelative minima. (Q2594477)

Durch die Arbeiten von \textit{Douglas} und anderen (vgl. die in F. d. M. 65, 454 (JFM 65.0454.*) besprochene Arbeit und die dort zitierte Literatur) wurde das Plateausche Problem gelöst, wobei die gefundene Lösung jeweils den absolut kleinsten Wert für den Flächeninhalt gibt. In einer früheren Arbeit hat Verf. Fälle relativer Minima untersucht (Ann. Math., Princeton, (2), 39 (1938), 309-315; JFM 64.1186.*). Hier wird nun die Frage nach Minimalflächen vom Geschlecht 0 durch \textit{eine} gegebene Randkurve aufgeworfen, die keine auch relativen Minima ergeben; dabei ist es zweckmäßig (wie auch in den früheren zitierten Untersuchungen), an Stelle des Flächeninhaltes das Dirichletsche Integral zu betrachten. Verf. beweist nun: Wenn die gegebene Jordankurve \(\varGamma\) (die noch gewissen zusätzlichen Bedingungen unterworfen wird, derart, daß alle Kurven mit stetig sich drehender Tangente zulässig sind) zwei Minimalflächen \(q'\) und \(q''\) berandet, welche eigentliche relative Minima für das Dirichletsche Integral ergeben, so berandet sie auch mindestens eine, welche kein eigentliches relatives Minimum liefert. Zum Beweis wird im Raum \(\mathfrak S\) aller zur Konkurrenz zugelassenen Flächen (dargestellt durch in \(|w|\leqq 1\) stetige, in \(|w|< 1\) stetig differenzierbare Vektorfunktionen \(\mathfrak q (w)\), die \(|w|=1\) monoton auf \(\varGamma\) abbilden) eine Metrik eingeführt: Abst. \(\mathfrak q_1 \mathfrak q_2= \max\limits_{|w|\leqq 1}|\mathfrak q_1(w)-\mathfrak q_2(w)|\). \(\mathfrak q'\) und \(\mathfrak q''\) werden nun durch Scharen \(C\) harmonischer Flächen \(\mathfrak q\) miteinander verbunden (\(\mathfrak q'\) und \(\mathfrak q''\) sind nach der vorausgesetzten Minimaleigenschaft ebenfalls harmonisch). In jeder Schar \(C\) betrachte man \(d(C)=\operatornamewithlimits{fin\,sup}\limits_{\mathfrak q \subset C}D(\mathfrak q)\); es sei \(d=\operatornamewithlimits{fin\,inf}\limits_Cd(C)\). Dann existiert eine Schar \(C=C_m\) mit \(d(C_m)=d\) und auf dieser ein \(\mathfrak q\) mit \(D(\mathfrak q)=d\); dieses \(\mathfrak q\) ist von der gesuchten Art. Wenn das Dirichletsche Integral im Raume aller harmonischen Flächen stetig wäre, so wäre der Beweis mühelos auf Grund der Minimaleigenschaft der Schar \(C_m\) zu erbringen. Die Hauptschwierigkeit beruht darauf, daß die Oberhalbstetigkeit fehlt. Für die erforderliche Untersuchung des Dirichletschen Integrals eines harmonischen Vektors wird eine Darstellung dieses Integrals mittels der Randwerte des Vektors gegeben, die von der von \textit{Douglas} (Trans. Amer. math. Soc. 33 (1931), 263-321; JFM 57.1542.*) abweicht; Ref. hat sie (unter engen Voraussetzungen über das Randverhalten) in anderem Zusammenhang benutzt (Math. Z. 45 (1939), 29-61 (F. d. M. 65, 339 (JFM 65.0339.*)), insbesondere S. 35). -- Auf viel einfachere Art läßt sich die genannte Schwierigkeit nach Überlegungen von \textit{Morse} überwinden, nach denen die Stetigkeit eines gewissen Variationskoeffizienten des Dirichletschen Integrals gesichert ist (\textit{Morse}, First variation in minimal surface theory, Duke math. J. 6 (1940), 263-289; F. d. M. 66, 484 (JFM 66.0484.*)). Theorem 4, 3), S. 848 ist natürlich falsch; doch wird davon später kein Gebrauch gemacht. Die entwickelten Hilfsmittel gestatten ferner die Aufstellung von Morseschen Relationen bezüglich der stationären Werte des Dirichletschen Integrals im Raume \(\mathfrak P\) aller in \(\varGamma\)-eingespannten harmonischen Flächen; zu diesem Zwecke sind vor allen Dingen die Zusammenhangszahlen dieses Raumes zu berechnen.