Sur quelques problèmes actuellement irrésolus et sans doute insolubles dans les théories des séries et des intégrales de Fourier. (Q2594504)

Verf. stellt ziemlich unbestimmte Erörterungen darüber an, ob man die von mehreren Autoren für gewisse Probleme in der Theorie der Fourierschen Reihen und Integrale gegebenen Lösungen als wirkliche Lösungen bezeichnen könne. Angehängt ist eine Note über die Geschichte des Faltungssatzes, der besagt, daß die Faltungen \[ f(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty f_1(x-y)f_2(y)\,dy, \quad f(x)=\int\limits_0^xf_1(x-y)f_2(y)\,dy, \quad f(x)=\int\limits_0^{2\pi} f_1(x-y)f_2(y)\,dy \] bzw. durch die Fourier-Transformation \(\varphi(t) =\int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx}f(x)\,dx\), die Laplace-Transformation \(\varphi(s)=\int\limits_0^\infty e^{-sx}f(x)\,dx\) und die ``endliche'' Fourier-Transformation (Fourier- Koeffizient) \[ a_n= \int\limits_0^{2\pi} e^{nix}f(x)\,dx \] in gewöhnliche Produkte übergeführt werden: \[ \varphi(t) = \varphi_1(t)\varphi_2(t), \quad \varphi(s) = \varphi_1(s)\varphi_2(s), \quad a_n= a_n^{(1)}a_n^{(2)}, \] wobei noch verschiedene Varianten je nach dem zugrunde liegenden Funktionenraum zu unterscheiden sind. Verf. versucht, für die verschiedenen Versionen des Satzes für sich und andere Autoren die Priorität festzulegen. Bei Beurteilung seiner Ausführungen müssen zwei Dinge auseinander gehalten werden: 1) Der Faltungssatz, 2) seine Anwendung zur Lösung von Integralgleichungen. Der Faltungssatz selbst ist so alt (mindestens 50 Jahre), daß sein erstes Auftreten kaum noch festzustellen ist. Die erste Anwendung zur Lösung von Integralgleichungen haben je in einem Spezialfall (ohne Formulierung einer allgemeinen Methode) \textit{Herglotz} 1908 für den Typus \(\int\limits_0^x f_1(x-y)f_2(y)\,dy\) (Math. Ann., Leipzig, 65 (1908), 87-106; F. d. M. 38, 384 (JFM 38.0384.*)) und \textit{P. Lévy} 1911 in der von ihm angeführten Arbeit (Thèse) für den Typus \(\int\limits_0^{2\pi}f_1(x-y)f_2(y)\,dy\) gemacht. Für weitere Literatur siehe die historischen Anmerkungen Nr. 96 und 168 in \textit{G. Doetsch}, Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation (1937; JFM 63.0368.*).