On the domain of a self-adjoint operator. (Q2594546)

Verf. nennt eine im Hilbertschen Raume \(\mathfrak H\) dichte Linearmannigfaltigkeit \(L\) eine \(H\)-Mannigfaltigkeit (\(H\)-M.), wenn es eine selbstadjungierte Transformation gibt, deren Definitionsbereich mit \(L\) zusammenfällt. Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür gegeben, daß eine Linearmannigfaltigkeit \(L\) eine \(H\)-M. sei. Eine solche Bedingung ist, daß es auf \(L\) ein neues inneres Produkt (\(f,g)_1\) und eine Norm \(||f||_1\) gibt, so daß \(||f||_1\geqq ||f||\) und \(L\) in bezug auf diese Metrik vollständig ist. Eine andere Bedingung ist, daß es eine (nicht notwendig abzählbare) Elementenmenge \(\{\varphi_\alpha\}\) derart gibt, daß 1) für jede endliche Linearkombination \(\psi=\sum\limits_1^n c_k\varphi_{\alpha_k}\) gilt: \(||\psi||^2=\sum\limits_1^n|c_k|^2\), 2) alle Elemente \(f\) von \(L\), und nur diese, in der Form \(f = \sum\limits_1^\infty c_k\varphi_{\alpha_k}\) mit \(\sum\limits_1^\infty |c_k|^2<\infty\) darstellbar sind. -Ist der Durchschnitt endlich vieler \(H\)-M. in \(\mathfrak H\) dicht, so ist er auch eine \(H\)-M. -- Ist \(L\) eine \(H\)-M., und sind \(f_1,f_2,\ldots, f_r\) endlich viele gegebene Elemente aus \(\mathfrak H\), so ist die Menge der Linearkombinationen \(g + c_1f_1+ c_2f_2 +\cdots + c_rf_r\) \((g \in L)\) wieder eine \(H\)-M. -- Es wird gezeigt, daß nicht jede in \(\mathfrak H\) dichte Linearmannigfaltigkeit eine \(H\)-M. ist, und daß es \(H\)-M. \(L_1\) und \(L_2\) mit \(L_1\cdot L_2 = (0)\) gibt. -- Endlich werden einige Sätze über den Definitionsbereich linearer abgeschlossener Transformationen in einem allgemeinen Banachschen Raum bewiesen.