Sur les opérations linéaires transformant un certain ensemble conique en lui-même. (Q2594549)

Es sei in einem Banachschen Raum \(E\) eine offene Menge \(K\) so gegeben, daß 1) wenn \(x \in K\), dann auch \(\lambda x \in K\) für \(\lambda > 0\), 2) wenn \(x, y \in K\), dann auch \(x + y \in K\), 3) wenn \(x \in K\), dann \(-x \not\in K\). Man kann \(K\) als das Innere eines konvexen Kegels mit der Spitze \(x = 0\) auffassen. Die linearen Operationen \(f(x)\) auf \(E\), für die \(f(x) > 0\) ist, wenn \(x \in K\), bilden eine (nicht notwendig offene) Menge \(K^*\) im konjugierten Raume \(E^*\), die ebenfalls die Eigenschaften 1) bis 3) besitzt. -- Sei \(A\) eine lineare Transformation von \(E\) in sich, die \(K\) in sich überführt, d. h. für die \(Ax \in K\) ist, sobald \(x \in K\). Es wird gezeigt, daß die konjugierte Transformation \(A^*\) einen Eigenvektor \(f_0\) in \(K^*\) besitzt (d. h. \(A^*f_0 = \lambda_0f_0\), \(\lambda_0 > 0\)). Im speziellen Falle, wo \(A\) vollstetig ist, war diese Tatsache schon bekannt (\textit{M. Rutmann}, C. R. Acad. Sci. URSS (2) 18 (1938), 625-627; JFM 64.0373.*). Dann besitzt sogar \(A\) selbst einen Eigenvektor in \(K\); für nicht vollstetige \(A\) ist dies nicht immer der Fall. -- Der Satz kann noch folgendermaßen verallgemeinert werden: Ist \(\{A\}\) ein System miteinander vertauschbarer Transformationen mit der obigen Eigenschaft, so haben die konjugierten Transformationen \(A^*\) (\(A \in \{A\}\)) einen gemeinsamen Eigenvektor \(f_0\) in \(K^*\). -- Im Beweis wird insbesondere ein Fixpunktsatz von \textit{M. Schauder} (Studia Math., Lwów, 2 (1930), 171-180 (JFM 56.0355.*), S. 176) herangezogen.