Sur un problème de probabilités. (Q2594638)

Es seien \(n_i\) ganze Zahlen, die für \(i = 1, 2,\ldots, P\) den Bedingungen \(0\leqq n_i\leqq n-1\) und \(n_1 + n_2 +\cdots + n_P = N\) unterliegen. Identisch gilt dann \[ \sum_{N=0}^{(n-1)P}\sum \dfrac{1}{n_1!n_2!\ldots n_P!} z^{n_1+n_2+\cdots +n_P}= \biggl(1+\dfrac{z}{1!}+\dfrac{z^2}{2!}+\cdots +\dfrac{z^{n-1}}{(n-1)!} \biggr)^P=[f(z)]^P, \] wobei über alle zulässigen Kombinationen der \(n_i\) zu summieren ist. Um also die den Verf. interessierende Größe \(\sum \dfrac{1}{n_1!n_2!\ldots n_P!}\) zu erhalten, braucht man nur den Koeffizienten von \(z^N\) in der Entwicklung von \([f(z)]^P\) herauszuheben. Nach Cauchys Integralformel wird er durch \[ \dfrac{1}{2\pi i}\int\limits_K [f(z)]^P\dfrac{dz}{z^{N+1}} \] geliefert, zu integrieren ist dabei über einen Kreis \(K\) um den Ursprung im positiven Sinne. Nach der Sattelpunktmethode verschafft sich Verf. einen ziemlich verwickelten Ausdruck für dieses Integral bei großem \(P\) und großem \(N\). Weitere Vernachlässigungen führen dann auf die bekannte Poisson-Näherung, die Verf. nicht in allen Fällen als ausreichend ansieht.