Sur une loi de probabilité analogue à celle de Poisson et sur un sous-groupe important du groupe des lois indéfiniment divisibles. (Q2594650)

Durch die Wahrscheinlichkeitsdichte \[ f(x) = \dfrac{e^{-x}x^{t-1}}{\varGamma(t)}\;\;\text{für}\;\;\;x>0, \quad f(x)\equiv 0 \;\;\text{für}\;\;\;x<0 \] ist ein unbeschränkt teilbares Verteilungsgesetz mit der charakteristischen Funktion \[ \varphi (z)=(1-iz)^{-t} \] definiert. Es wird nach der allgemeinen Theorie der unbeschränkt teilbaren Gesetze untersucht und mit der Poissonschen Verteilung in Beziehung gesetzt. In Verallgemeinerung werden Verteilungsgesetze aufgestellt durch die Formel für die charakteristische Funktion \(\varphi(z)\) \[ \log\varphi (z)=-\sum _{\nu=1}^n t_\nu \log(1-i\lambda_\nu z)= \int\limits_0^\infty (e^{izu}-1) \sum_{\nu=1}^n t_\nu e^{-\tfrac{u}{\lambda}}\dfrac{du}{u}, \] und es wird der Grenzübergang vollzogen zu Gesetzen, für die die charakteristische Funktion \(\varphi(z)\) definiert ist durch \[ \log \varphi(z) = -\int\limits_0^\infty \log (1-i\lambda z)dF(\lambda)=\int\limits _0^\infty(e^{izu}-1)n(u)du, \] wo \(n (u)\) durch die Formel \[ n(u) = \dfrac{1}{u}\int\limits _0^\infty e^{-\tfrac{u}{\lambda}}dF(\lambda) \] mit \(F (\lambda)\) verknüpft ist. Eine weitere Verallgemeinerung wird durch \[ \begin{aligned} \log \varphi (z) &= m_1iz -\int\limits _0^\infty [\log (1 - i\lambda z) + iz\omega(\lambda)] dF(\lambda)\\ &= m_1 iz + \int\limits_0^\infty [e^{izu} - 1 - iz\omega_1(u)]n(u) du \end{aligned} \] erhalten. Eine letzte Verallgemeinerung ergibt sich, wenn man für \(\lambda\), das bisher nur positiver Werte fähig war, auch negative Werte zuläßt. Die Frage, wann eine gegebene Funktion \(\varPhi (z)\) von einer der angegebenen Formen ist, wird aufgeworfen und in Spezialfällen erledigt.