Observation sur la communication précédente. (Q2594653)

Die Mitteilungen behandeln die Zerlegung (auf einen Kreis vom Umfang Eins) \textit{abgewickelter} Zufallsvariabeln in unabhängige Summanden, insbesondere bei Poissonscher bzw. Gaußscher Verteilung (vgl. die vorstehend besprochene Arbeit von \textit{P. Lévy}). I. Sind die möglichen Werte der Variablen \(\nu\), die bei irrationalem \(u\) unendlich viele \((n = 0, 1, 2, \ldots )\), bei \(u = \tfrac12\) zwei \((n = 0,1)\) verschiedene Punkte auf dem Kreis ergeben, nach dem Poissonschen Gesetz verteilt, also von der Wahrscheinlichkeit \(e^{-\theta}\dfrac{\theta^n}{n!}\) bzw. \(e^{-\theta}\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{\theta^{n+2k}}{(n+2k)!}, \;(\theta \geqq 0)\), so läßt sich der Raikowsche Satz über die Erhaltung des Verteilungstyps bei der Zerlegung des Poissonschen Gesetzes von dem geradlinigen Fall auf den abgewickelten übertragen. II. Durch geeignete Produktzerlegung der Fourier-Koeffizienten \(c_n\) des abgewickelten Verteilungsgesetzes zeigt sich, daß 1. der Cramersche Satz über die Erhaltung des geradlinigen Gaußschen Gesetzes bei Zerlegung, sich auf abgewickelte Gaußsche Verteilungen mit den Dichtefunktionen \(c \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{(x+n)^2}{2\sigma^2}}\) nicht übertragen läßt, 2. letzteres insbesondere Faktorengesetze von der Form \(\dfrac{1-r}{1-2r\cos 2\pi x+r^2}\), 3. sogar unzerlegbare Faktoren mit den Fourier-Koeffizienten \(\dfrac{c_n}{\cos 2\pi n\xi}\) zuläßt, 4. jede abgewickelte Zufallsvariable mit positiver und stetiger Verteilungsdichte \(\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} a_ne^{2\pi inx}\) sich in zwei unabhängige Summanden mit den Dichtefunktionen \(\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}a_m\omega (|n|)e^{2\pi inx}\) bzw. \(\sum\limits _{n=-\infty}^{+\infty}\dfrac{a_n}{\omega(|n|)}e^{2\pi i nx}\) bei konvex abnehmender Funktion \(\omega(t)\) zerlegen läßt. III. Sind die Werte \(nu\) einer mod 1 periodischen Zufallsvariablen für \(u =\dfrac1q\), \(q > 2\) irgendwie verteilt, so besitzt das Verteilungsgesetz unzerlegbare Teiler mit einer gemäß \(q\) wachsenden Anzahl von kleinwertigen Parametern.