On the estimation of the discrepancy between empirical curves of distribution for two independent samples. (Q2594687)

Zwei empirische Reihen \[ x_1^{(1)}\leqq x_2^{(1)}\leqq \cdots\leqq x_{n_1}^{(1)},\;\;x_1^{(2)}\leqq x_2^{(2)}\leqq \cdots\leqq x_{n_2}^{(2)} \] sollen daraufhin geprüft werden, ob sie dem gleichen Kollektiv angehören. Dazu bildet Verf. zwei Treppenlinien, \(S_{n_1}(x)\) definiert durch \[ \begin{aligned} S_{n_1}(x)&=0\;\;\text{für}\;\;x<x_1^{(1)},\\ S_{n_1}(x)&=\frac{k}{n_1}\;,,\;\;x_k^{(1)}\leqq x<x_{k+1}^{(1)},\\ S_{n_1}(x)&=1\;\;\;\,,\;\;\;x>x_{n_1}^{(1)}\end{aligned} \] und entsprechend \(S_{n_2}(x)\). Weiter führt er die Größe \[ D(n_1, n_2)=\limsup_{-\infty <x<+\infty }\;|\,S_{n_1}(x)-S_{n_2}(x)\,| \] ein. Dann beweist er folgenden Satz: ``Wenn \(n_{1}\) und \(n_{2}\) in der Weise über alle Grenzen wachsen, daß \(n_2:n_1\) konstant bleibt, so strebt \[ P\biggl\{D(n_1,n_2)\leqq \lambda \sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}\biggr\}\to \varPhi (\lambda ), \] wobei \(\varPhi (\lambda )=\kern-4pt\sum\limits_{k=-\infty }^{+\infty }\kern-4pt(-1)^ke^{-2k^2\lambda ^2}\) ist, welche Verteilung auch immer in dem Kollektiv herrschen mag.'' Die bereits von \textit{A. Kolmogoroff} (Giorn. Ist. Ital. Attuari 4 (1933), 83-91; JFM 59.1166.*) eingeführte Funktion \(\varPhi (\lambda )\) ist vom Verf. in der vorliegenden Arbeit tabuliert worden. Seine Methode, den gemeinsamen Ursprung zweier Meßreihen zu sichern, ist durchaus originell, weil sie die gesamte Reihe und nicht nur gewisse abgeleitete Größen (arithmetisches Mittel, Median, Streuung) zum Vergleich heranzieht, wie das sonst üblich ist.