Sur l'équivalence des polyèdres, en particulier des polyèdres réguliers, et sur la dissection des polyèdres réguliers en polyèdres réguliers. (Q2594812)

Gegenstand dieses Vortrages ist die Zerlegungsgleichheit (Équivalence de façon finie) von Polyedern. Im Mittelpunkt steht die bekannte für die Zerlegungsgleichheit notwendige Bedingung, die Bricard zuerst in spezieller Form ausgesprochen und \textit{Dehn} dann in allgemeinerer Fassung bewiesen hat (Math. Ann., Leipzig, 55 (1901), 465-478; F. d. M. 32, 486). An diese Bedingung werden verschiedene Betrachtungen angeknüpft. Insbesondere wird die Frage nach der Zerlegungsgleichheit zweier Polyeder, die reguläre Körper oder Systeme von regulären Körpern sind, ausführlich behandelt. Es werden die sich aus dem Dehnschen Satz ergebenden Bedingungen dafür, daß zwei solche Polyeder zerlegungsgleich sind, hergeleitet und verschiedene teils seit längerem bekannte, teils kürzlich von dem Verf. an anderer Stelle. (C. R. Acad. Sci., Paris, 207 (1938), 437-439; JFM 64.0591.*) veröffentlichte Resultate angeschlossen, nach denen gewisse Polyeder dieser Art nicht zerlegungsgleich sind. Auf die Frage, ob die durch die fraglichen notwendigen Bedingungen zugelassenen Zerlegungsgleichheiten statthaben, hat man keine allgemeine Antwort. Jedoch werden durch die wohlbekannten Zerlegungen eines Würfels in Würfel, eines regulären Tetraeders sowohl als eines regulären Oktaeders in ein System von regulären Tetraedern und Oktaedern spezielle derartige Zerlegungsgleichheiten aufgewiesen, aus denen man allgemeiner folgern kann, daß sowohl ein Würfel als ein reguläres Tetraeder als auch ein reguläres Oktaeder einem System von Würfeln, regulären Tetraedern und Oktaedern zerlegungsgleich ist. Verf. zeigt, wie auch bereits an anderer Stelle (Publ. Math. Univ. Belgrade 6/7 (1938), 183-188; JFM 64.1297.*) daß diese bekannten Zerlegungen die einzig möglichen Zerlegungen von regulären Körpern in reguläre Körper sind. In einem Anhang wird ein Beweis des Satzes von Dehn gegeben.