Abstract flat projective geometry. (Q2594909)

Es handelt sich um einige Eigenschaften und Sätze projektiver Übertragungen \(\varPi (X, Y, Z)\), die die Verf. bei der Untersuchung allgemeiner Punktmannigfaltigkeiten \(H\) mit Hilfe zulässiger Koordinaten eines Banachschen Raumes \(B\) zugrunde legen. Dabei bedeuten die Argumente \(X\), \(Y\), \(Z\) Koordinatenpaare, z. B. ist \(X = (x, x^0)\), wo \(x\) zu \(B\) gehört und eine reelle Eichvariable darstellt. Den Koordinatenpaaren \((x, x^0)\) entspricht dann eine bestimmte Darstellung der geometrischen Objekte dieser Geometrie, ein Wechsel der Darstellung wird durch \(\overline x =\overline x (x) \); \(\overline x{}^0= x^0+\lg\varrho(x)\) gegeben, wo \(\varrho (x)\) ein gewisses Skalarfeld bedeutet. Der projektive Zusammenhang \(\varPi\) hat folgende Eigenschaften: (1) er ist symmetrisch und linear in \(Y\), \(Z \); (2) er ist gegenüber gewissen näher beschriebenen linearen Transformationen \(A(X)\) invariant; (3) er ist von \(x^0\) unabhängig und hat (4) die Gestalt: \[ z^0y + y^0z + \varGamma (x, y, z, y^0, z^0 + \varGamma^0(x, y, z)). \] Weiterhin wird das Verhalten von \(\varPi\) gegenüber Wechsel der Darstellung untersucht. Mit der projektiven Übertragung ist auch eine projektive Krümmungsform verknüpft, deren identisches Verschwinden die ebene projektive Geometrie charakterisiert. Bei den weiteren Untersuchungen wird \(H\) als topologischer Raum im Sinne von Hausdorff zugrunde gelegt. Zunächst werden jetzt die für den Zusammenhang \(\varPi\) nunmehr geltenden Postulate präzisiert und anschließend einige Existenzund Eindeutigkeitstheoreme für Lösungen geometrisch wichtiger Differentialsysteme dieses Kalküls angegeben. Dabei spielt die, sogenannte \(\delta\)-Eigenschaft Fréchetscher Differentiale \(f(x_0, y;z)\) eine größere Rolle, die einer Funktion \(f (x, y)\) mit Argumenten und Funktionswerten, die zu Banachschen Räumen gehören, an der Stelle \(x = x_0\) (bezüglich \(y\)) dann zukommt, wenn für \(\varepsilon > 0\) und \(a > 0 \) unabhängig von \(y\) ein \(\delta(\varepsilon, a, x_0) > 0\) derart existiert, daß \[ \|f(x_0 + z,y) - f(x_0,y)-f(x_0,y;z)\| \leqq\varepsilon\| z\| \] für \(\| z \| < \delta(\varepsilon, a, x_0)\) und \(\| y \| < a\) besteht.