Durchschnitt und Schnitt von Homotopieketten. (Q2594987)

Verf. ergänzt seine Untersuchungen über Homotopieketten (vgl. \textit{Reidemeister}, Topologie der Polyeder (1938; F. d. M. \(64_{\text{I}}\), 593), \S~17) durch eine Schnitttheorie der Homotopieketten in Mannigfaltigkeiten. Er führt zwei Schnittbildungen \(\sigma\) und \(\tau\) ein, von denen die zweite, einfachere, zur Definition von Schnittund Verschlingungszahlen führt. Es sei \(M^n\) eine \(n\)-dimensionale Mannigfaltgikeit; \(A\), \(\tilde A\) seien zwei zueinander duale universelle Uberlagerungskomplexe von \(M^n\), \(\varDelta\) der Durchschnittskomplex von \(A\) und \(\tilde A\), \(M^n_\varDelta\) der von \(\varDelta\) überlagerte Zerlegungskomplex von \(M^n\). \(\mathfrak a_i^d\), \(\tilde{\mathfrak a}{}_i^{n-d}\) (\(i =1,\, 2,\, \ldots,\, a_d\); \(d = 0,\, 1,\, \ldots,\, n\)) seien die \(d\)- bzw. \((n - d)\)-dimensionalen orientierten Zellen je eines Fundamentalbereiches von \(A\), \(\tilde A\); \(\mathfrak a^{*f}_k\) (\(k =1,\, 2,\,\ldots,\, a^*_f\); \(f = 0,\, 1,\,\ldots,\, n\)) entsprechend für \(\varDelta\); \(\mathfrak c_k^{*f}\) die Zellen von \(M^n_\varDelta\). \(\mathfrak G\) sei die Gruppe der Decktransformationen, \(\mathfrak H\) zu \(\mathfrak G\) einstufig isomorph, wobei \(g_i\) und \(h_i\) einander entsprechen. \(\mathfrak{GH}\) ist das direkte Produkt; die Untergruppen \((\mathfrak G, 1)\) und \((1, \mathfrak H)\) werden mit \(\mathfrak G\) und \(\mathfrak H\) identifiziert. \(\mathfrak X\), \(\mathfrak X'\) und \(\mathfrak Y\) bedeuten die Gruppenringe von \(\mathfrak G\), \(\mathfrak H\) und \(\mathfrak{GH}\), \(x\), \(x'\), \(y\) ihre Elemente; \(\mathfrak{Xx}\), \(\mathfrak X\tilde{\mathfrak x}\), \(\mathfrak {Xx}^*\), \(\mathfrak{Yx}^*\) Homotopiekettengruppen von \(A\), \(\tilde A\), \(\varDelta\) mit Koeffizienten aus \(\mathfrak X\) bzw. \(\mathfrak Y\). Es seien \[ \mathfrak x^d =\sum X_{ik}g_k\mathfrak a_i^d\quad \tilde{\mathfrak x}{}^{n-d+f}=\sum X_{jl}g_l\tilde{\mathfrak a}{}_j^{n-d+f} \] Ketten aus \(\mathfrak{Xx}\) bzw. \(\mathfrak X\tilde{\mathfrak x}\). Der \textit{Durchschnitt} \[ \mathfrak x^d . \tilde{\mathfrak x}{}^{n-d+f} =\sum X_{ik}X_{jl}\bigl( g_k\mathfrak a^d_i\cdot g_l\tilde{\mathfrak a}{}_j^{n-d+f}\bigr) \] ist dann eine Kette aus \(\mathfrak{Xx}^*\). Der Schnitt \(\sigma\) ist als Element von \(\mathfrak{Yx}^*\) definiert durch \[ \sigma\bigl(\mathfrak x^d,\mathfrak x^{n-d+f}\bigr) =\sum_k\bigl( \mathfrak x^d \cdot g_k\mathfrak x^{n-d+f}\bigr) h_k, \] wobei unter der Summe in der Klammer Durchschnitte stehen (von denen nur endlich viele nicht leer sind). Der Schnitt \(\tau\) ergibt sich durch eine homomorphe Abbildung von \(\sigma\) auf die Kettengruppe \(\mathfrak X'\mathfrak p^*\) der Ketten \(\mathfrak q^{*d}=\sum x_i^\prime \mathfrak c_i^{*d}\): Jedem Element \(\mathfrak x^{*d}\) aus \(\mathfrak {Xx}^*\) entspricht nämlich bei der Überlagerung von \(M_\varDelta^n\) durch \(\varDelta\) eine Homologiekette \(\mathfrak p^{*d} = (\mathfrak x^{*d})'\) von \(M^n_\varDelta\). Nun läßt sich aber \(\mathfrak q^{*d}\) eindeutig als \(\sum\mathfrak p_k^{*d} h_k\) darstellen und umgekehrt: \(x_i^\prime= \sum X_{ik}h_k\), \(\mathfrak p_k^{*d} = \sum X_{ik}\mathfrak c_i^{*d}\). Jeder Kette der Form \(\mathfrak y^d=\sum\mathfrak x_k^{*d}h_k\) entspricht also ein \((\mathfrak y^d)'= \sum (\mathfrak x_k^{*d})'h_k = \sum \mathfrak p_k^{*d}h_k= \mathfrak q^{*d}\) aus \(\mathfrak X'\mathfrak p^*\). Man setzt \[ \tau(\mathfrak x^d,\mathfrak x^{n-d+f}) =\bigl(\sigma(\mathfrak x^d,\mathfrak x^{n-d+f})\bigr)'. \] Für die Durchschnitt- und Schnittbildung gelten die distributiven Gesetze. Durchschnitt und Schnitt geschlossener Ketten sind geschlossen; sie beranden, falls eine der beiden Ketten \(\mathfrak x^d\), \(\mathfrak x^{n-d}\) beranden. Sind \(\mathfrak U\) und \(\mathfrak B\) Rechtsideale von \(\mathfrak X\), so kann man die Schnitte \(\sigma\) und \(\tau\) für Ketten \(\mathfrak x^n\), \(\mathfrak x^{n-d+f}\) in \(\mathfrak U\) bzw. \(\mathfrak B\) und mod \(\mathfrak U\) bzw. \(\mathfrak B\) bilden. Sie haben gleichfalls die für eine vernünftige Schnitttheorie erforderlichen Eigenschaften. Für \(f = 0\) ist \(\tau(\mathfrak x^d, \mathfrak x^{n-d})\) nulldimensional, der Rand \(\tau(\mathfrak x^d, \mathfrak x^{n-d})\) ein Element von \(\mathfrak X'\), die \textit{Schnittzahl} von \(\mathfrak x^d\) und \(\mathfrak x^{n-d}\). Unter der Voraussetzung, daß in \(M^n\) alle Ketten \(\mathfrak x^d\) mit \(0<d<n\) beranden, kann man mit Hilfe der Schnittzahl Verschlingungszahlen mit den üblichen Eigenschaften definieren.