Stetige Abbildungen metrischer Räume und ihre Beziehungen zu den offenen Abbildungen. (Q2595017)

Ein Punkt \(x\) eines topologischen Raumes \(X\) heißt regulär in bezug auf eine stetige Abbildung von \(X\) auf einen topologischen Raum \(Y\), wenn jede Umgebung von \(x\) eine Umgebung mit offenem Bild enthält. Eine stetige Abbildung eines metrischen Raumes heißt abgeschlossen, wenn das Bild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen im Bild des ganzen Raumes ist. Verf. beweist: Bei einer abgeschlossenen Abbildung eines metrischen Raumes \(R\) auf einen vollständigen metrischen Raum \(R'\) gibt es mindestens einen regulären Punkt. Das Bild der Menge der regulären Punkte ist sogar dicht in \(R'\). Eine abgeschlossene Abbildung von \(R\) auf einen vollständigen \(R'\) ist dann und nur dann halboffen (d. h. das Bild einer offenen Menge enthält eine nicht leere offene Menge), wenn sie auf einer in \(R\) dichten Menge offen ist. Ist \(f\) eine stetige Abbildung des Kompaktums \(X\) auf das Kompaktum \(Y\), so sind die Urbilder sämtlicher Punkte von \(Y\) dann und nur dann nirgends dicht in \(X\), wenn es in \(Y\) eine gegen \(Y\) konvergierende Folge von perfekten Mengen \(Y_n\) gibt, deren Urbilder \(X_n\) gegen \(X\) konvergieren und \(f\) auf jeder \(X_n\) offen ist.