Condotta forzata scavata in roccia. Tensioni e deformazioni elastodinamiche per azione termica. (Q2595163)

Das im Titel bezeichnete Problem wird in zwei Schritten gelöst und demgemäß in die folgenden beiden Teilaufgaben aufgespalten: (1) in ein Wärmeleitungsproblem für den Zylinder-Außenraum \(r \leqq \varrho < \infty\), dargestellt durch die Differentialgleichung \[ E (v) \equiv \frac {\partial^2 v}{\partial \varrho^2} + \frac 1\varrho \frac {\partial v}{\partial \varrho} - q^2 \frac {\partial v}{\partial t} = 0 \] für die Temperatur \(v (\varrho, t)\), die Anfangsbedingung \(v (\varrho, 0) = 0\) und die Randbedingung \(\left[ \dfrac {\partial v}{\partial \varrho} - \lambda v \right]_{\varrho = r} = a(1 - \cos \omega t)\), durch die die Wärmeübertragung des periodischen Temperaturschwankungen unterworfenen, den Zylinder durchfließenden Wassers zum Ausdruck gebracht wird, und (2) in ein thermoelastisches Problem für das gleiche Gebiet \(r \leqq \varrho < \infty\), dargestellt durch die Differentialgleichung \[ \frac {\partial ^2 u}{\partial \varrho^2} + \frac 1\varrho \frac {\partial u}{\partial \varrho} - \frac u {\varrho^2} - p^2 \frac {\partial ^2 u}{\partial t^2} - \frac {\partial v}{\partial \varrho} = 0, \] die Anfangsbedingung \(u (\varrho, 0) = \dfrac {\partial u (\varrho, 0)}{\partial t} = 0\) und die Randbedingung \[ \left [ \dfrac {\partial u}{\partial \varrho} + lu \right]_{\varrho = r} = v(r,t) \] für die elastische Verschiebung \(u(\varrho, t)\). (1) Wird in Gestalt der Minimumaufgabe \(\int\limits_0^\infty e^{-\alpha t}dt \int\limits_r^\infty E^2 (v_n) \, d\varrho =\) min. unter Heranziehung der Laguerreschen Polynome \(L_k(x)\) mittels des Ansatzes \[ v_n(\varrho,t) = e^{-\tfrac {\varrho - r}2} \sum_{k=0}^n \varphi_{n,k} (t) \cdot L_k (\varrho -r) \] näherungsweise gelöst -- die Lösung für \(n = 1, 2, 3\) wird explizit angegeben --\,; hieraus ergeben sich dann, nach Weglassung des wegen der Kleinheit von \(p\) praktisch vernachlässigbaren Gliedes \(p^2 \dfrac {\partial ^2 u}{\partial t^2}\) in einfacher Weise auch Näherungslösungen von (2). Die Lösung ist eindeutig.