On the self-energy and the electromagnetic field of the electron. (Q2595298)

Untersuchung der Ladungsverteilung, des elektromagnetischen Feldes und der Selbstenergie eines Elektrons. Zuerst wird die Ladungsverteilung berechnet. In der Ein-Elektronen-Theorie (Diracsche Theorie des Elektrons mit unbesetzten negativen Energieniveaus) erhält man für die Wahrscheinlichkeit, das Elektron anzutreffen, eine \(\delta\)-Funktion (punktförmiges Elektron), in der Positronentheorie (Diracsche Theorie mit besetzten negativen Energien, wenn keine Positronen vorhanden sind) eine quadratische Singularität \(\sim 1/r^2\) am ``Orte'' des Elektrons; die Ladung erscheint verteilt über einen Bereich der Größenordnung \(\hbar /(mc)\). Trotz dieser Zerstreuung der Ladung über einen gewissen Bereich ergibt sich die Einwirkung eines periodischen Feldes auch von sehr kurzer Wellenlänge in erster Näherung als gleich mit der Einwirkung auf ein punktförmiges Elektron. Die Energie des elektrostatischen Feldes des Elektrons divergiert beim punktförmigen Elektron (Ein-Elektronen-Theorie) wie \(1/a\) (\(a = \) Radius des Elektrons \(\to 0\)), in der Positronentheorie nur wie lg \(a\). Der Grund für dieses andersartige Verhalten liegt im Vorhandensein der ``VakuumElektronen'' (Elektronen in negativen Energiezuständen), die infolge des Pauliprinzips durch das eine Elektron positiver Energie verdrängt werden und eine Ladungswolke um dieses Elektron bilden. Zur elektrostatischen Energie kommt die Energie des Magnetfeldes \(U_{text{mag}}\), das durch das magnetische Moment des Elektrons erzeugt wird, und des elektrischen Feldes der Zitterbewegung des Elektrons \(U_{\text{el}}\). In der Ein-Elektronen-Theorie sind beide Ausdrücke einander gleich und \(\sim 1/a^3\), in der Positronentheorie sind sie entgegengesetzt gleich und \(\sim 1/a^2\). Zur Selbstenergie des Elektrons erhält man von \(U\) den Beitrag: in der Ein-Elektronen-Theorie Null, in der Positronentheorie \(-2U_{\text{mag}}\sim 1/a^2\). Dazu kommt noch die Energie der erzwungenen Schwingungen des Elektrons unter der Einwirkung der Schwankungen der Nullpunktsenergie des umgebenden elektromagnetischen Feldes; dieser Beitrag ist gleich für die Ein-Elektronen-Theorie und für die Positronentheorie und \(\sim 1/a^2\). In der letzteren hebt sich dieser Anteil aber gerade gegen den am stärksten divergierenden von \(-2U_{\text{mag}}\) weg, in der Ein-Elektronen-Theorie ist das nicht der Fall. Für die gesamte Selbstenergie des Elektrons, die sich aus den genannten drei Beiträgen zusammensetzt: Energie des elektrostatischen Feldes, Energie des magneti- schen Momentes und der Zitterbewegung (beide vom Spin verursacht), Energie der erzwungenen Schwankungsbewegung -- erhält man in der Positronentheorie einen Ausdruck \(\sim\) lg \(a\), in der Ein-Elektronen-Theorie \(\sim 1/a^2\). -- Für ein Teilchen, das der Bosestatistik unterworfen ist, werden die Rechnungen in Analogie zur Positronentheorie durchgeführt; hier divergiert die elektrostatische Energie wie \(1/a^2\), viel stärker als in der Positronentheorie, weil Bosestatistik die ``Vakuumteilchen'' näher an das Teilchen positiver Energie zwingt. \(U_{\text{el}}, U_{\text{mag}}\) sind Null für ein ruhendes Teilchen; die Energie der erzwungenen Schwankungsbewegung ist dieselbe wie für ein Fermiteilchen. -- Für die Positronentheorie wird gezeigt, daß die höheren Näherungen der Selbstenergie verschwinden mit verschwindender Masse, und daß bei endlicher Masse die Divergenz in jeder Näherung logarithmisch ist. Verf. schließt daraus: Definiert man einen Elektronenradius \(a\) in der üblichen Weise, indem man die Selbstenergie gleich \(mc^2\) setzt, so bekommt man \(a\approx \hbar/(mc)\cdot \exp (-\hbar c/e^2)\), das ist \(10^{-58}\)mal kleiner als der klassische Elektronenradius \(e^2/(mc^2)\). Für Teilchen mit Bosestatistik dagegen ergibt sich wegen der sehr viel höheren Divergenz der Selbstenergie als kritische Länge \(a \approx\sqrt{\hbar c/e^2}\cdot \hbar /(mc)\). Bei Boseteilchen sollten also in der Gegend dieser Länge oder bei Energien, die dieser Länge entsprechen, neuartige Erscheinungen auftreten, während die Positronentheorie bis zu sehr viel kleineren Längen oder sehr viel höheren Energien richtig sein sollte.