Über unerreichbare Kardinalzahlen. (Q2595501)

Verf. beschäftigt sich mit dem Begriff der unerreichbaren Kardinalzahl, auf den in letzter Zeit von verschiedenen Autoren hingewiesen worden ist. Unter unerreichbaren Kardinalzahlen im weiteren Sinne werden die Kardinalzahlen verstanden, die gleich einem \(\aleph_\alpha \) sind, wobei entweder \(\alpha =0\) oder \(\omega _\alpha \) eine reguläre Anfangszahl mit Limesindex ist. Daneben wird von im engeren Sinn unerreichbaren Kardinalzahlen gesprochen. Ist \(m\) eine derartige Kardinalzahl, so genügt sie der weiteren Bedingung, daß für zwei Kardinalzahlen \(n < m\) und \(p < m\) stets \(n^p<m\) ist. Es werden eine Anzahl von Bedingungen angegeben, denen die unerreichbaren Kardinalzahlen genügen müssen. Ob es unerreichbare Kardinalzahlen gibt, die \(>\aleph_0\) sind, ist eine durchaus ungelöste Frage. Für die im engeren Sinne unerreichbaren Kardinalzahlen ist bereits nachgewiesen worden, daß ihre Existenz auf dem Boden des Zermelo-Fraenkelschen Axiomensystems nicht begründet werden kann. Will man also die Existenz dieser Kardinalzahlen (d. h. beliebig großer) gewährleisten, so bleibt nur übrig, ein neues, hier formuliertes Axiom (Axiom der unerreichbaren Mengen) hinzuzufügen. Dieses Axiom ist so stark, daß dann verschiedene andere Axiome, z. B. das der Potenzmenge und das Auswahlaxiom, entbehrlich werden.