Zur Faktorenabschätzung bei Polynomen. (Q2595579)

\textit{Szegö} hat 1932 in einem Briefe an \textit{H. Cremer} (s. Ber. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, math.-phys. KL, 84 (1932), S. 307, Fußnote 2) folgenden Satz mitgeteilt: Ist \(P (z)\) ein Polynom des Grades \(n \geqq 1\) mit beliebigen komplexen Koeffizienten und den Eigenschaften \(P(1) = 0\) und \(|P (z)| \leqq M\) für \(|z|\leqq 1\), ist ferner \[ P_1(z)=\dfrac{P(z)}{z-1}, \] so gilt \[ |P_1(z)| < \dfrac{M}{2} \left|\dfrac{z^n-1}{z-1}\right| \quad \text{ für } \quad z=e^{i\varphi},\quad |\varphi|\leqq\dfrac{\pi}{n}, \quad \varphi \quad \text{ reell} \] (von der trivialen Ausnahme \(P (z) = e^{i\vartheta}\dfrac{M}{2} (z^n - 1)\) abgesehen). Verf. interessiert sich für den Satz, weil daraus sehr leicht die Abschätzung \(|P_1(z)| \leqq \dfrac{M}{2}\cdot n\) (Gleichheitszeichen nur im Ausnahmefall) folgt, und er gibt für den \textit{Szegö}schen Satz einen recht durchsichtigen und elementaren Beweis \(\bigg(\)in der etwas schwächeren Form \(|\varphi| < \dfrac{\pi}{n}\bigg)\), wobei es ihm nicht nur auf den Beweis, sondern auf die Klarstellung des Gedankenganges ankommt. Der Beweis beruht auf einer geeigneten Darstellung von \(P(z)\) als Lagrange-interpoliertes Polynom, deren Ansetzung plausibel gemacht wird, und auf einer geschickten Abschätzung und Vorzeichenbestimmung der Koeffizienten. Den Schluß bildet eine Skizze des \textit{Szegö}schen Beweises.