Ein Beitrag zur Axiomatik der Abelschen Gruppen. (Q2595593)

Zwei auf die Substraktion bezügliche Axiomensysteme für abelsche Gruppen bestehen aus den folgenden Forderungen (1), (2), (3) und aus (1), (4): \((1)\;a - b\in \mathfrak G\), \((2)\;a - (a - b) = b\), \((3)\;a - (b - c) = c - (b - a)\), \((4)\;a - \{b- (c - (a - b))\}= c\). Die Addition kann durch \(a + b = a - ((a - a) - b)\) eingeführt werden. Ähnliche Untersuchungen haben \textit{Boggs} und \textit{Rainich} für beliebige Gruppen angestellt (Bull. Amer. math. Soc. 43 (1937), 81-84; JFM 63.0059.*). Aus (1), (4) gewinnt Verf. zum Schluß das folgende Axiomensystem für abelsche Gruppen, das sich, statt auf Addition oder auf Substraktion, auf die neutrale Relation \(S (a, b, c)\) bezieht, welche soviel bedeutet wie \(a = b + c\): (I) Zu je zwei Elementen \(a, b \in \mathfrak G\) gibt es ein \(c\in\mathfrak G\), für das \(S (a, b, c)\) gilt. (II) Sind \(a, b,\ldots, g \in\mathfrak G\), und gilt \(S(a,b,d)\), \(S(c,d,e)\), \(S(b,e,f)\), \(S(a,f,g)\), so ist \(c=g\).