Group rings and extensions. (Q2595648)

Stellt man sich die Aufgabe, die Erweiterungen einer Gruppe \(\mathfrak A\) durch eine vorgegebene Faktorgruppe \(\mathfrak H\) zu untersuchen, wobei \(\mathfrak H\) nicht durch seine Multiplikationstafel, sondern durch definierende Relationen \[ \varPhi_1(x,y,\ldots)=\varPhi_2(x,y,\ldots)=\cdots=E \] gegeben ist, so treten an die Stelle des Faktorensystems der \textit{Schreier}schen Erweiterungstheorie die Elemente \[ \alpha_i=\varPhi_i(\overline{x},\overline{y},\ldots) \qquad (\alpha_i\in\mathfrak A;\quad \mathfrak A\overline{x}=x), \] und es erhebt sich die Frage, in welchem Umfang die Elemente \(\alpha_i\) in \(\mathfrak A\) willkürlich gewählt werden können und wann zwei Systeme \(\alpha_i\), \(\beta_i\) auf dieselbe Erweiterung führen. Unter Beschränkung auf Abelsches \(\mathfrak A\) und endliches \(\mathfrak H\) (von der Ordnung \(n\)) beantwortet Verf. diese Fragen folgendermaßen: Zu jeder der Erzeugenden \(x, y,\ldots\) von \(\mathfrak H\) nehme man \(n\) Symbole \(\xi^H\) (\(H \subset\mathfrak H\)), bzw. \(\eta^H,\ldots\) und sehe sie als Erzeugende einer freien Abelschen Gruppe mit \(\mathfrak H\) als Operatorenbereich an. Man bringe für jedes i den Ausdruck \(\varPhi_i(x\xi^E,y\eta^E,\ldots)\) vermöge der Rechenregeln \(\xi^H H_1=H_1\xi^{HH_1}\) auf die Gestalt \[ \varPhi_i(x\xi^E,y\eta^E,\ldots)=\varPhi_i(x,y,\ldots)\cdot\xi^{x_i}\eta^{y_i}\cdots, \] wobei \(x_i,y_i,\ldots\) der Menge \(\mathfrak L\) der Linearverbindungen der Elemente von \(\mathfrak H\) mit ganzen rationalen Koeffizienten angehören. Auf diese Weise bestimmt jede der definierenden Relationen \(\varPhi_i\) von \(\mathfrak H\) eindeutig einen Vektor \(\mathfrak x_i=\{x_i,y_i,\ldots\}\) mit Komponenten aus \(\mathfrak L\). Dann gilt: Dann und nur dann sind in einer geeigneten Erweiterung von \(\mathfrak A\) mit \(\mathfrak H\) die Gleichungen \(\varPhi_i(\overline{x},\overline{y},\ldots)=\alpha_i\) lösbar, wenn \(\prod \alpha_i^{h_i}=1\) ist für jedes System \(h_i\) von Größen aus \(\mathfrak L\), für welches \[ \mathfrak x_1h_1+\mathfrak x_2h_2+\cdots=0 \] ist. Ferner liefern dann und nur dann zwei Systeme \(\alpha_i,\beta_i\) aus \(\mathfrak A\) dieselbe Erweiterung, wenn die sämtlichen Gleichungen \[ \alpha_i\beta_i^{-1}=\xi^{x_i}\eta^{y_i}\ldots \] durch ein und dasselbe System von Elementen \(\xi, \eta,\ldots\) aus \(\mathfrak A\) gelöst werden können. Im Verlauf des Beweises, der von der Theorie der Algebren Gebrauch macht, teilt Verf. auch einen Beweis für den folgenden, \textit{Artin} zugeschriebenen Satz mit: Erweitert man die freie abelsche Gruppe \(\mathfrak A\) von \(n\) Erzeugenden \(A_1,\ldots, A_n\) durch eine Permutationsgruppe \(\mathfrak H\) des Grades \(n\), indem man der Permutation (\(\nu\to\nu'\)) den Automorphismus (\(A_{\nu}\to A_{\nu'}\)) von \(\mathfrak A\) zuordnet, so ist die Gruppe der Klassen assoziierter Faktorensysteme isomorph zu der Kommutatorfaktorgruppe von \(\mathfrak H_1\), wobei \(\mathfrak H_1\) die Gruppe derjenigen Elemente von \(\mathfrak H\) bezeichnet, welche die Ziffer 1 fest lassen.