Homomorphism of rings and fields of point sets. (Q2595668)

Unter der Summe \(\mathfrak A+\mathfrak B\) zweier Mengensysteme \(\mathfrak A\), \(\mathfrak B\) versteht man das System aller Mengen \(A+B\), \(A\in\mathfrak A\), \(B\in\mathfrak B\) (analog für Differenz und Produkt zweier Systeme, wobei im letzteren Falle für das Produkt zweier Mengen ihr Durchschnitt zu setzen ist). Restklasse eines Mengenringes \(\mathfrak R\) in bezug auf einen Unterring \(\mathfrak S\) ist das System \(\{A\} +\mathfrak S\), \(A\) festes Element aus \(\mathfrak R\); ein Unterring \(\mathfrak T\) heißt Ideal in \(\mathfrak R\), wenn \(RT\in\mathfrak T\) für jedes \(R\in\mathfrak R\) und \(T\in\mathfrak T\) ist. Es gilt: Das System der Restklassen bezüglich eines Ideals \(\mathfrak T\) in \(\mathfrak R\) ist homomorphes Abbild von \(\mathfrak R\), wobei Vereinigung und Durchschnitt in \(\mathfrak R\) entsprechen Summe und Produkt der Restklassen; es ist sogar isomorphes Abbild, wenn \(\mathfrak R\) die leere Menge enthält. An Stelle der leeren Menge und von \(\mathfrak R\) kann man auch nehmen ein Ideal \(\mathfrak N\) von ``Nullmengen'' und das System der Restklassen von \(\mathfrak R\) bezüglich \(\mathfrak N\). Verf. führt ferner die Begriffe des Integritätsbereiches (der Durchschnitt zweier Nichtnullmengen ist Nichtnullmenge) und des Feldes (mit zwei Mengen gehören auch Vereinigung und Differenz zum System) ein und entwickelt eine Reihe weiterer Homomorphiesätze. Da zwei Felder isomorph sein können (in bezug auf endlich viele Verknüpfungen), ohne daß sie es in bezug auf unendlich viele (z. B. Vereinigung abzählbar vieler Mengen) sind, so wird der Begriff des \(\sigma\)-Ringes und \(\sigma\)-Feldes eingeführt. Ein weiterer Abschnitt behandelt Bedingungen, unter welchen offenen und abgeschlossenen Mengen des einen Feldes gleichartige Mengen eines anderen dazu homo- oder isomorphen Feldes entsprechen. (II.)