Zur Idealtheorie der einartigen Ringbereiche mit dem Teilerkettensatz. I, II, III. (Q2595681)

I, II. Verf. beweist zuerst eine Reihe von Sätzen über die Ideale eines primären kommutativen Ringes \(\mathfrak P\) mit Einselement und folgert dann Sätze über die Ideale eines kommutativen Ringes \(\mathfrak R\) mit Einselement, in dem der Vielfachenkettensatz modulo jedem Ideal \(\neq 0\) und damit auch der Teilerkettensatz gilt (einartiger Ring mit Teilerkettensatz). Es bezeichne \(\mathfrak p\) das Primideal von \(\mathfrak P\), ferner \(\chi(\mathfrak a)\) für jedes Ideal \(\mathfrak a\) von \(\mathfrak P\) den Rang des Restklassenmoduls \(\mathfrak a/\mathfrak{ap}\) in bezug auf den Restklassenkörper \(\mathfrak P/\mathfrak p\) (Hilbertsche Funktion). Verf. beweist: \(\chi(\mathfrak a)\) ist beschränkt; es sei \(M_{\mathfrak P} = \operatornamewithlimits{Max}\limits_{\mathfrak a} \chi(\mathfrak a)\). Ferner ist \(\chi(\mathfrak p^e)\) für hinreichend großes \(e\) konstant; es sei \(\chi(\mathfrak p^e) = n_{\mathfrak P}\) genau für \(e\geqq e_{\mathfrak P}\). Hat \(\mathfrak P\) Nullteiler, so ist \(n_{\mathfrak P}=0\). Ist aber \(\mathfrak P\) Integritätsbereich, und wird vorausgesetzt, daß \(\mathfrak P/\mathfrak p\) mindestens \(n_{\mathfrak P}\) Elemente besitzt, so ist \(M_{\mathfrak P}=n_{\mathfrak P}\), \(e_{\mathfrak P}\leqq n_{\mathfrak P}-1\), \(\mathfrak p^{n_{\mathfrak P}}:\mathfrak p=\mathfrak p^{n_{\mathfrak P}-1}\), und es gibt in \(\mathfrak p\) ein Element \(\pi\) mit \(\mathfrak p^{n_{\mathfrak P}}= \pi\mathfrak p^{n_{\mathfrak P}-1}\). Diese Sätze ``im Kleinen'' ergeben Folgerungen ``im Großen'', indem man sie auf die Quotientenringe \(\mathfrak P=\mathfrak R_{\mathfrak p}\) von \(\mathfrak R\) nach den sämtlichen Primidealen \(\mathfrak p\) von \(\mathfrak R\) anwendet. Verf. beweist insbesondere: Ist \(\mathfrak R\) Integritätsbereich, \(\mathfrak O\) die ganzabgeschlossene Hülle von \(\mathfrak R\), und wird vorausgesetzt, daß der Führer \(\mathfrak R:\mathfrak O\neq 0\) ist, sowie daß \(\mathfrak P/ \mathfrak p\) für jedes \(\mathfrak p\) mindestens \(n_{\mathfrak P}\) Elemente besitzt, so entsteht \(\mathfrak O\) aus \(\mathfrak R\) durch Adjunktion eines Elementes vom Grade \(n = \operatornamewithlimits{Max}\limits_{\mathfrak p} n_{\mathfrak P}\). III. Im Anschluß an die beiden ersten Teile der Arbeit wird der Fall eines primären Integritätsbereichs \(\mathfrak R\) untersucht, in dem jedes Ideal höchstens dreigliedrig ist und das Primideal \(\mathfrak p\) keiner Gleichung \(\mathfrak p^3 =\pi\mathfrak p^2\) genügt. Das Hauptergebnis lautet: Die ganzalgebraisch-abgeschlossene Hülle \(\mathfrak O\) von \(\mathfrak R\) entsteht aus \(\mathfrak R\) durch Adjunktion zweier quadratischer Irrationalitäten; sie hat den Führer \(\mathfrak R:\mathfrak O = \mathfrak p^2\).