Über das Macaulaysche inverse System und dessen Bedeutung für die Theorie der linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. (Q2595689)

Verf. gibt eine neue Deutung des Macaulayschen ``Inversen Systems'' (siehe z. B. \textit{Krull}, Idealtheorie, 1935; F. d. M. \(61_{\text I}\), 113) als System der Integrale von linearen homogenen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Es sei \(\mathfrak P_n = K[x_1,\ldots, x_n]\) ein Polynomring über dem Körper \(K\) der komplexen Zahlen, \(\mathfrak a = (f_1(x),\ldots, f_n(x))\) ein Ideal in \(\mathfrak P_n\), \(u =\sum c_{p_1\cdots p_n}x^{-p_1}\ldots x^{-p_n}\) eine formale Potenzreihe, fortschreitend nach negativen Potenzen der \(x_i\), mit Koeffizienten aus \(K\). Es bedeute \(f\cdot u\) (\(f(x)\) irgend ein Polynom aus \(\mathfrak P_n\)) diejenige Potenzreihe, die sich bei formalem Ausmultiplizieren unter Vernachlässigung aller Glieder mit negativen Potenzen der \(x_i\) ergibt. Das inverse System \(\mathfrak a^{-1}\) besteht dann aus allen Potenzreihen \(u\) mit \(f\cdot u = 0\), falls \(f\subset\mathfrak a\). Jedem Polynom \(p(x)\subset\mathfrak P_n\) entspricht ein Differentialoperator \(p\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right)\) auf Grund der Zuordnung \[ x_1^{i_1}\ldots x_n^{i_n}\leftrightarrow \frac{\partial^i}{\partial x_1^{i_1}\cdots \partial x_n^{i_n}} \qquad (i=\sum_\nu i_\nu), \] kurz \(p(x)\leftrightarrow p\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right)\). Es gilt \[ p(x)+q(x)\leftrightarrow p\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)+ q\left(\frac{\partial}{\partial x}\right) \quad \text{und}\quad p(x)q(x)\leftrightarrow p\left(\frac{\partial}{\partial x}\right) q\left(\frac{\partial}{\partial x}\right). \] Der Ring \(\mathfrak P_n\) und der \textit{Differentialring} \(\mathfrak D_n = K \left[\dfrac{\partial}{\partial x_1},\ldots, \dfrac{\partial}{\partial x_n}\right]\) sind isomorph. Ist \(\mathfrak a\) ein Ideal von \(\mathfrak D_n\), so bezeichne das \textit{``Integralsystem''} \(\mathfrak a^{-1}\) die Menge aller Potenzreihen \(u = \sum c_{p_1\ldots p_n}\dfrac{x_1^{p_1}\cdots x_n^{p_n}}{p_1!\ldots p_n!}\), für welche \(p\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right) = 0\) gilt, sobald \(p\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right)\) in \(\mathfrak a\) liegt. Es gilt: Entsprechen sich die Ideale \(\mathfrak a\) in \(\mathfrak P_n\) und \(\tilde{\mathfrak a}\) in \(\mathfrak D_n\) zufolge der Isomorphie \(x_i\leftrightarrow\dfrac{\partial}{\partial x_i}\), so geht das inverse System \(\mathfrak a^{-1}\) von \(\mathfrak a\) in das Integralsystem \(\tilde{\mathfrak a}^{-1}\) von \(\tilde{\mathfrak a}\) über vermöge der Zuordnung \(x_i^{-p_i}\leftrightarrow\dfrac{x_i^{p_i}}{p_i!}\). Jedem Satz über das inverse System entspricht ein dualer Satz über das Integralsystem eines Ideals homogener linearer Differentialgleichungen. Verf. bringt einige interessante Beispiele und Anwendungen.