The structure of local class field theory. (Q2595720)

Ist für einen diskret-bewerteten perfekten Körper \(k\) der Restklassenkörper \(\mathfrak k\) endlich, so gelten die bekannten Sätze der lokalen Klassenkörpertheorie über \(k\): Für jedes \(n\) gibt es genau einen unverzweigten Erweiterungskörper vom Grade \(n\) über \(k\), und dieser ist zyklisch. Für jeden normalen endlich-algebraischen Erweiterungskörper von \(k\) ist die Normklassengruppe isomorph zur Kommutatorfaktorgruppe der Galoisgruppe. Verf. behandelt die umgekehrte Frage, welchen Einschränkungen \(\mathfrak k\) unterworfen ist, wenn über k die Sätze der lokalen Klassenkörpertheorie (in vollem Umfange oder teilweise) gelten. Die Einschränkungen für \(\mathfrak k\) treten dabei zum Teil in Gestalt von Bedingungen für die unverzweigten algebraischen Erweiterungen von \(k\) auf, die ja den sämtlichen algebraischen Erweiterungen von \(\mathfrak k\) umkehrbar eindeutig entsprechen. Eine naheliegende Einschränkung ist die Forderung, daß \(\mathfrak k\) quasi-algebraisch abgeschlossen ist (keine echten normalen Divisionsalgebren über \(\mathfrak k\) existieren). Diese Forderung erweist sich als gleichwertig damit, daß jede normale Divisionsalgebra über \(k\) vollverzweigt ist. Sie genügt aber nicht, um die Gültigkeit der lokalen Klassenkörpertheorie über \(k\) in vollem Umfange zu sichern, wie an einem Gegenbeispiel gezeigt wird. Für die weiteren Ergebnisse bezeichne \(Z\) zyklische, \(A\) Abelsche, \(N\) normale, \(K\) beliebige endlich-algebraische Erweiterungen über \(k\), ein zugefügtes \(U\) bedeute die Forderung der Unverzweigtheit über \(k\), ein angehängtes \(n\) den Grad über \(k\). 1. Wenn \(\mathfrak k\) quasi-algebraisch abgeschlossen ist, und wenn für jede \(UN_n\) mindestens eine von \(UN_n\) zerfällte normale Divisionsalgebra vom Grade \(n\) über \(k\) existiert, so sind alle \(UK\) zyklisch. 2. Wenn jede \(K_n\) alle normalen einfachen Algebren vom Grade \(n\) über \(k\) zerfällt, so gibt es für jedes \(n\) genau eine \(UZ_n\). 3. Wenn für jede \(UK_n\) die Gruppe der von \(UK_n\) zerfällten normalen einfachen Algebren vom Grade \(n\) zyklisch von der Ordnung \(n\) ist, und wenn dasselbe über jeder endlich-algebraischen Erweiterung von \(k\) als Grundkörper gilt, so sind alle \(UK\) zyklisch. 4. Wenn die durch normale Divisionsalgebren vom Grade \(n\) über \(k\) gelieferten Algebrenklassen eine Gruppe der Ordnung \(n\) erzeugen, und wenn es für jede Primzahl \(q\) mindestens eine \(UZ_q\) gibt, so gibt es für jedes \(n\) genau eine \(UZ_n\). 5. Wenn für jedes n die Normklassengruppe zyklisch von der Ordnung \(n\) ist, und wenn dasselbe über jeder unverzweigten endlich-algebraischen Erweiterung von \(k\) als Grundkörper gilt, so ist \(\mathfrak k\) quasi-algebraisch abgeschlossen (und dann auch vollkommen). 6. Wenn für jede \(UA\) die Normklassengruppe zur Galoisgruppe isomorph ist, so gibt es für jedes \(n\) genau eine \(UA_n\), und diese ist eine \(UZ_n\). 7. Wenn für jede \(UN\) die Normklassengruppe zur Kommutatorfaktorgruppe der Galoisgruppe isomorph ist, so gibt es für jedes \(n\) genau eine \(UK_n\), und diese ist eine \(UZ_n\). 8. Wenn für jede \(Z_n\) die Normklassengruppe die Ordnung \(n\) hat, so gibt es mindestens eine \(UZ_n\). 9. Wenn dasselbe auch über jeder endlich-algebraischen Erweiterung von \(k\) als Grundkörper gilt, so ist \(\mathfrak k\) vollkommen, es gibt für jedes \(n\) eine \(Z_n\), und für jede \(A\) ist die Normklassengruppe zur Galoisgruppe isomorph. 10. Wenn für jede Untergruppe \(H\) der Multiplikationsgruppe von \(k\) eine \(A\) mit Normgruppe \(H\) existiert, und wenn dabei der Anordnungssatz gilt, so ist \(\mathfrak k\) vollkommen, und jede \(UA\) ist eine \(UZ\). 11. Wenn zudem \(A\) in allen \(K\) enthalten ist, deren Normgruppen Untergruppen von \(H\) sind, so ist jede \(UK\) eine \(UZ\). 12. Wenn eine der Forderungen, die die Einzigkeit von \(UZ_n\) zur Folge haben, auch für alle perfekten Teilkörper von \(k\) erfüllt ist, deren Restklassenkörper Teilkörper von \(\mathfrak k\) sind, so ist \(\mathfrak k\) endlich. Zum Schluß folgen Betrachtungen über die Wesentlichkeit der Beschränkung auf diskrete Bewertungen für die Sätze der lokalen Klassenkörpertheorie. (III 7.)