A class of polynomials. (Q2595726)

Jedem Polynom \(M\) in einer Unbestimmten \(x\) über einem endlichen Körper \(k\) wird ein Polynom \(W_M(u)\) in einer weiteren Unbestimmten \(u\) über \(k(x)\) zugeordnet, das folgende Eigenschaften hat: Es ist nicht in Polynome in \(u\) über \(k(x)\) zerlegbar, die Galoissche Gruppe von \(W_M(u) = 0\) bezüglich \(k(x)\) ist isomorph der multiplikativen Restklassengruppe \(\mod M\), und ist \(\beta\) eine Wurzel dieser Gleichung und \(t\) eine Unbestimmte, so ist die Galoissche Gruppe der Gleichung \(W_M(u)=t\) bezüglich \(k(x,\beta,t)\) isomorph der additiven Restklassengruppe \(\mod M\). Dementsprechend findet auch die Zerlegung von \(W_M(u)\) nach einem Primpolynom in \(x\) über \(k\) in geläufiger Weise statt. Als Anwendungen folgen einige Sätze, die analog bekannten Resultaten über binomische Kongruenzen \(\mod p\) sind. (III 6.)