On divisor problems. (Q2595746)

Falls \(d_k(n)\) die Anzahl der Darstellungen der natürlichen Zahl \(n\) als ein Produkt von \(k\) positiven Faktoren ist, so gilt eine Formel \[ D_k(x)=\sum_{n\leqq x}d_k(n)=(a_{0,k}+a_{1,k}\log x+\cdots+ a_{k-1,k}\log^{k-1}x)x+\varDelta_k(x), \] wo \(\varDelta_k(x)=o(x)\). Es sei \(\beta_k\) die untere Grenze aller Zahlen \(\lambda\), für die \[ \frac1x\int\limits_1^x\varDelta_k^2(y)dy=O(x^{2\lambda}), \] und \(\sigma_k\) die untere Grenze aller Zahlen \(\sigma\), für die \[ \int\limits_1^T|\zeta(\sigma+it)|^{2k}dt=O(T) \] (\(\zeta\) ist die Riemannsche Zetafunktion). Verf. beweist: Damit für jedes \(k\) gilt: \(\beta_k =\dfrac{k-1}{2k}\), ist notwendig und hinreichend, daß \(\sigma_k\leqq\dfrac{k+1}{2k}\). Weiter zeigt er: \[ \beta_2=\frac14,\quad \beta_3=\frac13,\quad \frac38\leqq\beta_4\leqq\frac37,\quad \beta_k\geqq\frac{k-1}{2k}\qquad(k\geqq 2). \]