A further note on Ramanujan's arithmetical function \(\tau(n)\). (Q2595749)

Für \(|z|<1\) sei \[ z \{(1-z) (1-z^2) (1-z^3)\cdots\}^{24} = \sum_{n=1}^\infty \tau(n)z^n; \] für nicht ganzes \(x\) sei \(\tau(x)=0\). Für \(x>0\) und ganzes \(r\geqq 0\) sei \[ T_r(x)=\frac1{\varGamma(r+1)}\sum_{0<n\leqq x}(x-n)^r\tau(n). \] Für \(r>0\) hat \textit{Wilton} (Proc. Cambridge philos. Soc. 25 (1928), 121-129; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 709) gezeigt: Für \(x>0\) ist \[ T_r(x)\left(\frac1{2\pi}\right)^r \sum_{n=1}^\infty\left(\frac xn\right)^{6+\tfrac r2}\tau(n)J_{12+r} (4\pi\sqrt{nx}). \] Sein Beweisverfahren versagt für \(r = 0\). Nach dem Verfahren der \textit{Hardy-Landau}schen Arbeit über das Kreisproblem (Proc. R. Soc. London A 105 (1924), 244-258; F. d. M. 50, 114 (JFM 50.0114.*)) wird hier gezeigt, daß die rechte Seite in diesem Falle die Funktion \(T_0(x)-\dfrac{\tau(x)}2\) liefert und daß die auftretende Reihe dann in jedem abgeschlossenen endlichen Intervall positiver \(x\), das keine ganze Zahl enthält, gleichmäßig konvergiert.