The \(n\)-th prime is greater than \(n \log n\). (Q2595756)

Es sei \(p(n)\) die \(n\)-te Primzahl (\(p(1) = 2\)) und \(\psi\) die aus der Primzahltheorie bekannte Funktion. Verf. beweist: Falls \(m > 1000\) und \(p (n) > n \log n\) für jedes \(n\leqq m\) und falls \(H(x)\) eine positive Funktion ist, für die \(x\left(1+\dfrac1H\right)\geqq\psi(x)\) ist, so ist \(p (m + 1) > (m + 1) \log (m + 1)\). Mit Hilfe dieses Satzes beweist Verf., daß \(p(n)>n\log n\) für alle \(n > 1071\); daß dies auch für \(n\leqq 1071\) richtig ist, folgt aus Primzahltafeln (dies alles natürlich durch ziemlich mühsame Rechnungen). Weiter zeigt Verf., daß die durch \[ \sum_{m=1}^n\frac1{p(m)}=\log\log n+B_n,\quad \prod_{m=1}^n\left(1-\frac1{p(m)}\right)=\frac{C_n}{\log n},\quad \prod_{m=2}^N\left(1-\frac2{p(m)}\right)=\frac{D_n}{\log^2n} \] definierten Zahlenfolgen monoton abnehmen, und er bestimmt die Grenzwerte dieser Folgen auf 10 Dezimalen genau (0,261~497~212~8; 0,561~459~483~6 und 0,832~429~065~7). Schließlich beweist Verf. noch: Für \(n >3\) ist \[ p (n) < n \log n + 2n \log \log n, \] und für \(n > 1\) ist \[ n \log n + n \log \log n - n - 9n < p(n) < n \log n + n \log \log n - n + 9n. \]