Zur Theorie der quadratfreien Zahlen. (Q2595761)

Eine Verallgemeinerung der Anzahl \(Q(x)\) der quadratfreien natürlichen Zahlen \(\leqq x\) ist die zahlentheoretische Funktion \(N (x; \varDelta) =\sum\limits_{n=1}^x \nu(n; \varDelta)\), wo \(\nu(n; \varDelta)\), je nachdem die natürliche Zahl \(n\) quadratfrei ist oder nicht, den Wert \(\varDelta^{S(n)}\) oder 0 hat; \(S(n)\) bedeutet dabei die Anzahl der Primteiler von \(n\). Bekanntlich läßt sich \(N (x; 1) = Q(x)\) asymptotisch durch \(\dfrac 6{\pi^2}x\) darstellen. Für jedes \(\varDelta\) mit \(|\varDelta| \leqq 2\), \(|1+\varDelta| < 2\) (dieser Bereich hat den Punkt 1 zum Randpunkt) wird hingegen \(N (x; \varDelta) - o (x)\) gezeigt. Hieraus folgt: Teilt man bei festem ganzem \(h > 0\) die quadratfreien natürlichen Zahlen \(n\) nach den Restklassen mod \(h\) ein, in denen die Anzahl der Primteiler von \(n\) liegt, so liegen in allen \(h\) Klassen asymptotisch gleich viele, also \(\dfrac 6{h\pi^2}x\) Zahlen \(\leqq x\). -- Für die zahlentheoretische Funktion \(H(x; \varDelta) =\sum\limits_{n=1}^x\dfrac{\nu(n;\varDelta)}{n}\) wird nebenbei bewiesen: Für den obigen Bereich ist \(H(x,\varDelta)= o (\log x)\); im Bereich \(|\varDelta\leqq 1\), \(|1+ A|<1\) ist \(H(x;\varDelta)= o(1)\).