Über aufeinanderfolgende Zahlen, von denen jede mindestens einer von \(n\) linearen Kongruenzen genügt, deren Moduln die ersten \(n\) Primzahlen sind. (Q2595766)

Es seien \(p_1,\ldots, p_n\) die ersten \(n\) Primzahlen und \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) beliebig vorgegebene ganze Zahlen. Verf. untersucht, wieviele aufeinanderfolgende ganze Zahlen es gibt, von denen jede mindestens einer der Kongruenzen \[ \begin{matrix}\l\\ x\equiv\alpha_1\;(\text{mod}\;p_1),\\ \hdotsfor1\\ x\equiv\alpha_n\;(\text{mod}\;p_n) \end{matrix} \] genügt. Ist \(n\) hinreichend groß und \(c\) eine gewisse Konstante, so gibt es stets mindestens \(\dfrac{c\log p_n}{(\log\log p_n)^2}p_n\) aufeinanderfolgende derartige Zahlen. Für den Spezialfall \(\alpha_1=\cdots=\alpha_n=0\) findet sich dieses Resultat schon bei \textit{P. Erdős} [Q. J. Math., Oxf. Ser. 6, 124--128 (1935; JFM 61.0134.03; Zbl 0012.01102)]. Erdős benutzt die Methode von Brun, deren Anwendung Verf. vermeiden kann. Ferner zeigt Verf., daß man bei hinreichend großem \(n\) auch umgekehrt zu jeder Folge von \(\dfrac{c\log p_n}{(\log\log p_n)^2}p_n\) aufeinanderfolgenden Zahlen stets \(n\) Zahlen \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) derart finden kann, daß jede Zahl der Folge mindestens einer der obigen Kongruenzen genügt. Durch einen besonderen, einfacheren Beweis wird gezeigt, daß die beiden Resultate mit \(2p_n+1\) statt \(\dfrac{c\log p_n}{(\log\log p_n)^2}p_n\) schon für \(p_n\ge 103\) gelten.