The law of apparition of primes in a Lucasian sequence. (Q2595767)

Eine Folge ganzer rationaler Zahlen \(u_0, u_1, u_2,\ldots\) wird als Lucassche Folge bezeichnet, wenn sie einer linearen Rekursionsformel mit konstanten, ganzen Koeffizienten genügt und für \(n|m\) stets \(u_n|u_m\) ist. Es werden hier Beispiele solcher Folgen untersucht, in erster Linie die nachstehenden: Sind \(\alpha_1,\ldots,\alpha_k\) die Wurzeln eines Polynoms \(f(x)\) mit ganz-rationalen Koeffizienten und dem höchsten Koeffizienten 1 und alle verschieden, so bilden die Zahlen \[ U_n=\prod_{i<j}\frac{\alpha_i^n-\alpha_j^n}{\alpha_i-\alpha_j} \] eine Lucassche Folge. Sind \(\beta_1,\ldots,\beta_l\) die Wurzeln eines Polynoms \(g (x)\) mit ganzrationalen Koeffizienten und dem höchsten Koeffizienten 1 und alle voneinander und von den \(\alpha_i\) verschieden, so bilden auch die Zahlen \[ R_n=\prod\frac{\alpha_i^n-\beta_j^n}{\alpha_i-\beta_j} \] eine Lucassche Folge. Es wird dann untersucht, in welchen Gliedern der Folge \(U_n\) bzw. \(R_n\) bestimmte Primteiler \(p\) auftreten, insbesondere dann, wenn \(f(x)\) und \(g(x)\) als \(\mod p \) irreduzibel vorausgesetzt sind. Unter Umständen werden die Indices dieser Glieder genau bestimmt.