On a special class of diophantine equations. I, II. (Q2595811)

\(f(x,y)\) sei ein Polynom in \(x\) und \(y\) mit ganzen Koeffizienten, das im Körper der rationalen Zahlen irreduzibel ist, und auf der Kurve \(f(x,y)=0\) mögen unendlich viele Gitterpunkte \((x,y)\) liegen. In der ersten Note wird angenommen, der größte Primfaktor von \(x\) und \(y\) sei beschränkt; dann ist \[ f(x,y) \equiv qx^m + ry^n \] mit \(q \neq 0\), ganz, \(r \neq 0\), ganz, und \((m,n) = 1\), \(m\geqq 0\), \(n \geqq 0\), \(m + n > 0\). Die zweite Note zeigt, daß unter der schwächeren Voraussetzung: der größte Primfaktor von \(x\) sei beschränkt, die Kurve durch die Parameterdarstellung \[ x=as^n, \quad y=g(s) \] gegeben wird, wobei \(a \neq 0\), ganz, \(n\) nichtnegativ und ganz und \(g(s)\) ein Polynom in \(s\) mit rationalen Koeffizienten ist. Bei dem ersten Teil wird der Siegel-Thuesche Satz angewendet, während im zweiten Teil der Siegelsche Satz über Gitterpunkte auf algebraischen Kurven benutzt wird.