On the Fourier coefficients of certain modular forms of positive dimension. (Q2595832)

Verf. beweisen eine exakte Formel für die Fourierkoeffizienten gewisser Modulformen positiver Dimension, welche angesehen werden kann als eine Verallgemeinerung der früher von dem ersteren der beiden Verf. bewiesenen Formel für die Anzahl \(p(n)\) der Zerlegungen der natürlichen Zahl \(n\) in positive Summanden (Proc. London math. Soc. (2) 43 (1937), 241-254; JFM 63.0140.*). Eine Funktion \(F(\tau)\) der komplexen Veränderlichen \(\tau\), welche in der oberen \(\tau\)-Halbebene regulär ist, wird Modulform der Dimension \(r (> 0)\) genannt, wenn sie die Eigenschaften \[ F\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right)=\varepsilon(a,b,c,d) \left( - i(c\tau+d)\right)^{-r}F(\tau) \quad (c > 0) \] und \[ F(\tau+1) = e^{2\pi i \alpha} F(\tau) \quad (0\leqq \alpha <1) \] besitzt und wenn überdies ihre Fourierentwicklung \[ F(\tau) = e^{2\pi i\alpha\tau} \sum_{m=-\mu}^\infty a_me^{2\pi i m\tau} \] nur endlich viele Glieder mit negativen Exponenten hat. Hier ist \[ \tau'=\frac{a\tau+b}{c\tau+d} \quad (c>0) \] eine Modulsubstitution, und \(\varepsilon\) ist eine nur von \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) (nicht von \(\tau\)) abhängige komplexe Zahl vom Betrage 1. Verf. beweisen die Formeln \[ \begin{aligned} &a_m = 2\pi\sum_{\nu=1}^\mu a_{-\nu} \sum_{k=1}^\infty \frac{A_{k,\nu}(m)}k \left(\frac{\nu-\alpha}{m+\alpha}\right)^{\tfrac{r+1}2} I_{r+1}\left(\frac {4\pi}k \sqrt{(\nu-\alpha)(m+\alpha)}\right), \\ &a_0 = 2\pi\sum_{\nu=1}^\mu a_{-\nu} \sum_{k=1}^\infty \frac{A_{k,\nu}(0)}k \cdot \frac 1{(r+1)!} \left(\frac{2\pi\nu}k\right)^{r+1}, \end{aligned} \] wo \[ \begin{gathered} A_{k,\nu}(m) = \sum_{ _{\substack{ 0\leqq h < k \\ (h,k)=1}}} \varepsilon\left(h',-\frac{hh'+1}k,k,-h\right)^{-1} e^{-\tfrac{2\pi i}k[(\nu-\alpha)h'+(m+\alpha)h]},\\ hh' + 1 \equiv 0 \pmod k, \end{gathered} \] und \(I_{r+1}\) eine Besselsche Funktion erster Art ist. Weiter zeigen die Verf. noch, daß sämtliche Modulformen mit den oben erwähnten Eigenschaften charakterisiert werden können durch \[ F(\tau)=\eta(\tau)^{-2r-12\beta-8\gamma}g_3(1,\tau)^\beta g_2(1,\tau)^\gamma\{C_\varkappa J(\tau)^\varkappa + \cdots + C_1 J(\tau) + C_0\}, \] wo \(g_2\), \(g_3\) und \(J\) die in der Theorie der elliptischen Funktionen vorkommenden Modulformen sind, und \[ \eta(\tau) = e^{\frac 1{12}\pi i \tau}\prod_{n=1}^\infty (1 -e^{2\pi i n\tau}). \] (IV 6 C.)