The Fourier coefficients of the modular invariant \(J(\tau)\). (Q2595833)

Für die Fourierkoeffizienten von Modulformen \textit{positiver} Dimension hat Verf. in einer früheren (gemeinsam mit \textit{H. S. Zuckermann} verfaßten) Arbeit mit \textit{Hardy-Littlewood}schen Methoden exakte Formeln hergeleitet (vgl. vorstehendes Referat). Jetzt beweist er unter Benutzung einer Methode von \textit{Kloosterman} für die Fourierkoeffizienten \(c_n\) (\(n\geqq 1\)) der Modulfunktion (Modulform der Dimension \textit{Null}) \[ J(\tau)= \frac{g_2^3(1,\tau)}{g_2^3(1,\tau)-27g_3^2(1,\tau)} = \frac 1{12} \left[e^{-2\pi i \tau}+c_0+\sum_{n=1}^\infty c_ne^{2\pi i n\tau}\right] \] folgende Formel: \[ c_n=\frac{2\pi}{\sqrt n} \sum_{k=1}^\infty \frac{A_k(n)}k I_1\left(\frac {4\pi\sqrt n}k\right), \] wo \[ A_k(n) =\sum_{_{\substack{ h\text{mod}k \\ (h,k)=1}}} e^{-\tfrac{2\pi i}k(nh+h')}, \quad hh'\equiv -1 \pmod k, \] und \(I\) die Besselsche Funktion erster Art darstellt. (IV 6 C.)