Ramanujans Vermutung über Zerfällungsanzahlen. (Q2595834)

Mit Hilfe von Thetafunktionen werden die folgenden Teilaussagen einer unrichtigen \textit{Ramanujan}schen Vermutung über die Anzahl \(p(n)\) der additiven Zerfällungen der natürlichen Zahl \(n\) bewiesen: Ist \(24n \equiv 1 \pmod \delta\), so ist \(p(n)\) im Falle \(\delta=5^\alpha\) (\(\alpha\) eine natürliche Zahl) und im Falle \(\delta=7\) durch \(\delta\), im Falle \(\delta=7^{2\beta}\) (\(\beta\) eine natürliche Zahl) wenigstens durch \(7^{\beta+1}\) teilbar. Als teilweise Verschärfung des Falles \(\delta = 5^\alpha\) wird ferner der folgende, ebenfalls von \textit{Ramanujan} vermutete Satz bewiesen: Ist \(\alpha\) gerade, \(24\lambda\equiv 1 \pmod {5^\alpha}\), \(1< \lambda < 5^\alpha\), \(n\equiv 2\cdot 5^\alpha + \lambda \pmod {5^{\alpha+1}}\) oder \(n\equiv 4\cdot 5^\alpha + \lambda \pmod {5^{\alpha+1}}\), so ist \(p(n)\) durch \(5^{\alpha+1}\) teilbar.