Sur l'hypothèse de Goldbach. (Q2595852)

Verf. zählt eine Reihe von Sätzen auf (ohne Beweise), welche der additiven Primzahltheorie angehören und alle die neueren \textit{Vinogradow}schen Hilfsmittel benutzen (\textit{Vinogradov}, Rec. math., Moscou, (2) 2 (1937), 179-195; Trav. Inst. math. Tbilissi 3 (1938), 1-67. JFM 63.0131.*; 64\(_{\text{I}}\), 129). Verf. gibt z. B. den Satz: Für fast alle geraden Zahlen ist der Ausdruck \(\varOmega(t)\varPhi(t)\), wo \[ \varPhi(t)=\int\limits_2^{t-2} \frac {du}{\log u \log(t-u)}, \quad \varOmega(t) = 2\prod_p \left(1-\frac 1{(p-1)^2}\right) \cdot \prod_{p|t}\frac{p-1}{p-2} \] (und wo \(p\) nur ungerade Primzahlen durchläuft) eine Approximation für die Anzahl der Darstellungen \(F(t)\) von \(t\) als Summe von zwei Primzahlen. Genauer: Für jedes \(N\geqq 3\) ist die Anzahl derjenigen geraden natürlichen Zahlen \(t\leqq N\), welche nicht der Ungleichung \[ \left|\frac{F(t)}{\varOmega(t)\varPhi(t)}-1\right| < \frac 1{(\log N)^{1000}} \] genügen, höchstens gleich \[ c\frac N{(\log N)^{1000}}, \] wo \(c\) eine Konstante ist. Aus diesem Satze läßt sich schließen, daß fast alle geraden Zahlen sich als Summen von zwei Primzahlen darstellen lassen. (Den Beweis hat Verf. erbracht in Acta arith., Warszawa, 2 (1937), 266-290; F. d. M. 63\(_{\text{II}}\)); dieser Satz ist ebenfalls bewiesen worden von \textit{Čudakov}, C. R. Acad. Sci. URSS (2) 17 (1937), 335-338; F. d. M. 63\(_{\text{II}}\).) Verf. gibt weiter Sätze über die Darstellung von ganzen Zahlen als Summen \textit{und Differenzen} von Primzahlen und Primzahlpotenzen, wo den Primzahlen auch noch die Bedingung auferlegt wird, gegebenen Restklassen anzugehören.