Einige allgemeine Primzahlsätze. (Q2595856)

Verf. gibt Sätze über die Darstellung natürlicher Zahlen als Summen von Primzahlpotenzen. Er beweist: 1) Es seien \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \dots, \(\alpha_n\) reell, \(N\) ganz \(> 1\), \(N_0 = \sqrt [n] {N}\), \(h>0\), \(\tau=\dfrac N{(\log N)^h}\), \[ f(x) = \alpha x^n + \alpha_1 x^{n-1} + \cdots +\alpha_n, \] \(\alpha=\dfrac aq+\dfrac \theta{q\tau}\), \((a,q)=1\), \(|\theta|\le 1\), \((\log N)^h <q \le \tau\); es sei ferner \(k\) ganz, \(h_k > 0\), \(0<k< (\log N)^{h_k}\) und \[ S=\sum_{p\leqq N_0}e^{2\pi i kf(p)}, \] wo \(p\) die Primzahlen \(\le N_0\) durchläuft. Für beliebiges \(h_0\) und \[ h\geqq (2n + 1) \max (2h_k+ 2^{2n+1}(h_0 + 2) + 1, \quad 2^{6n-2} + 1) \] ist dann \[ S=O\left(\frac{N_0}{(\log N)^h}\right). \] Verf. benutzt dieselbe Methode, die er früher auf den Fall \(f(x) = x\) angewandt hat [Rec. Math. Moscou, n. Ser. 2, 179--195 (1937; JFM 63.0131.05; Zbl 0017.19803)] in Verbindung mit der Weylschen Methode. 2) Es sei \(I_N\) die Anzahl der Darstellungen von \(N\) in der Form \[ N=p_1^n+p_2^n+ \cdots +p_r^n, \] wo die \(p_i\) Primzahlen sind. Dann ist \[ I_N = \frac{\left(\varGamma\left(\dfrac 1n\right)\right)^r}{\varGamma\left(\dfrac rn\right)} \frac{N^{\tfrac rn-1}}{(\log N)^r}\mathfrak S + O\left(N^{\tfrac rn-1} \frac {\log\log N}{(\log N)^{r+1}}\right) \] (wo \(\mathfrak S\) die singuläre Reihe ist), falls \[ \begin{aligned} &r > 2^{n-1} (n - 2) + 7 \;\text{für} \;n=3 \;\text{und für} \;4 < n < 14,\\ &r > 31 \quad \text{für} \quad n = 4,\\ &r > [n^3(\log n + 2 \log \log n)] \;\text{für} \;n \ge 14, \\ &r\ge 5 \quad \text{für} \quad n = 2. \end{aligned} \] 3) Verf. untersucht die singuläre Reihe im Falle \(n=2\) (die Untersuchung der singulären Reihe im allgemeinen Fall wird er später veröffentlichen). Das Resultat dieser Untersuchung ergibt in Verbindung mit 2) folgenden Satz: Jede hinreichend große Zahl \(N\), welche \(\equiv s \pmod {24}\) ist, wo \(5\le s \le 28\), ist eine Summe von \(s\) Primzahlquadraten. 4) Weiter gibt Verf. noch den aus 1) folgenden Satz über die Gleichverteilung mod 1 der Zahlenfolge \((f(p))\), wo \(p\) die Primzahlen durchläuft.