On the representation of numbers as the sums of the powers of primes. (Q2595859)

Es sei \(k\ge 4\) ganz, \[ \begin{aligned} &b=\begin{cases} 2^{k-1} &\text{für \(k < 15\),}\\ k^3 (\log k + \frac 54\log \log k^2) &\text{für \(k\geqq 15\),} \end{cases} \\ &s = 2k+2\left[\frac{\log \dfrac b2 + \log\left(1-\dfrac 2k\right)}{\log k - \log(k-1)}\right] + 7. \end{aligned} \] Dann wird eine die Zahl \(s\) enthaltende Restklasse angegeben, in der sich alle hinreichend großen Zahlen als Summen von \(s\) \(k\)-ten Potenzen von Primzahlen darstellen lassen. \(s\) hat für wachsendes \(k\) dieselbe Größenordnung \(6k \log k\) wie die von Vinogradov beim Waringschen Problem gewonnene Abschätzung für \(G(k)\). Bei ungeradem \(k\) handelt es sich einfach um die Restklasse der ungeraden Zahlen, so daß jede große ganze Zahl Summe von höchstens \(s + 1\) \(k\)-ten Potenzen von Primzahlen ist. -- Bei Vergrößerung von \(s\) ist eine entsprechend verschobene Restklasse brauchbar.